II вариант 1. Диагонали прямоугольника МИКР пересекаются в точке О, ZMON = 64°. Найдите угол ОМР. 2. Найдите углы равнобокой трапеции, если один из ее углов на 30° больше второго. 3. Стороны параллелограмма относятся как 3 : 1, а его периметр равен 40 см. Найдите стороны параллелограмма. 4. В прямоугольной трапеции разность углов при одной из боко- вых сторон равна 48°. Найдите углы трапеции. 5*. Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба ABCD обра- зует со стороной АВ угол 30°, длина диагонали АС равна 6 см. Най- дите АМ, если точка М лежит на продолжении стороны AD.

1. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Значит, треугольник MON равнобедренный (MO = ON). Следовательно, углы при основании равны: $$\angle OMN = \angle ONM = (180\deg - 64\deg) \div 2 = 58\deg$$. Так как $$\angle MNK = 90\deg$$, то $$\angle ONK = 90\deg - 58\deg = 32\deg$$. Треугольник ONK также равнобедренный (ON = OK), следовательно, $$\angle OKN = \angle ONK = 32\deg$$. $$\angle OMP$$ и $$\angle ONK$$ - вертикальные, значит $$\angle OMP = \angle ONK = 32\deg$$. Ответ: $$\angle OMP = 32\deg$$. 2. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Пусть один из углов равен $$x$$, тогда другой равен $$x + 30\deg$$. Так как сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $$180\deg$$, то составим уравнение: $$x + x + 30\deg = 180\deg$$. Решаем уравнение: $$2x = 150\deg$$ $$x = 75\deg$$ Тогда второй угол равен $$75\deg + 30\deg = 105\deg$$. Итак, углы равнобокой трапеции равны $$75\deg$$, $$75\deg$$, $$105\deg$$ и $$105\deg$$. 3. Пусть одна сторона параллелограмма равна $$3x$$, а другая $$x$$. Периметр параллелограмма равен $$2(3x + x) = 40$$ см. Решаем уравнение: $$2(4x) = 40$$ $$8x = 40$$ $$x = 5$$ Одна сторона равна $$3 \cdot 5 = 15$$ см, другая $$5$$ см. 4. В прямоугольной трапеции есть два прямых угла (по $$90\deg$$). Пусть два других угла равны $$x$$ и $$x + 48\deg$$. Сумма всех углов трапеции равна $$360\deg$$, значит, $$90\deg + 90\deg + x + x + 48\deg = 360\deg$$. Решаем уравнение: $$2x + 228\deg = 360\deg$$ $$2x = 132\deg$$ $$x = 66\deg$$ Тогда другой угол равен $$66\deg + 48\deg = 114\deg$$. Итак, углы трапеции равны $$90\deg$$, $$90\deg$$, $$66\deg$$ и $$114\deg$$. 5. $$\angle ABM = 30\deg$$, значит $$\angle MBA = 30\deg$$. Тогда $$\angle ABC = 180\deg - 30\deg = 150\deg$$. $$\angle BAC = 150\deg$$, значит $$\angle BAD = 30\deg$$. Треугольник ABM прямоугольный, $$\angle ABM = 30\deg$$. Пусть $$AM = x$$, тогда $$AB = 2x$$ (катет против угла в 30 градусов). В ромбе диагонали являются биссектрисами углов. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD, где O - точка пересечения диагоналей ромба. $$\angle OAD = 15\deg$$, $$\angle AOD = 90\deg$$. По теореме косинусов $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$. Так как $$AC = 6$$, $$AB = BC = 2x$$, $$\angle ABC = 150\deg$$, то $$36 = 4x^2 + 4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot 2x \cdot \cos(150\deg)$$. $$36 = 8x^2 + 4x^2 \sqrt{3}$$ $$36 = 4x^2(2 + \sqrt{3})$$ $$9 = x^2(2 + \sqrt{3})$$ $$x^2 = \frac{9}{2 + \sqrt{3}} = \frac{9(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{9(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 9(2 - \sqrt{3})$$ $$x = 3\sqrt{2 - \sqrt{3}}$$ Итак, $$AM = 3\sqrt{2 - \sqrt{3}}$$.