II) Равнобедренный треугольник 4. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит угол ВАС пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 7.

Решение:

Дан треугольник ABC, в котором BM — медиана, а AD ⊥ BM. AD делит угол BAC пополам.

1. Рассмотрим треугольник ABM. AD является биссектрисой угла BAM и высотой, так как AD ⊥ BM. Это означает, что треугольник ABM является равнобедренным с AB = BM.
2. Так как BM — медиана, то AM = MC.
3. По условию AB = 7, следовательно, BM = 7.
4. В треугольнике BCM, BM = 7 и MC = AM.
5. Рассмотрим треугольник ABC. AD — биссектриса угла BAC. По теореме о биссектрисе угла треугольника, отношение сторон, прилежащих к углам, равно отношению отрезков, на которые делится противоположная сторона: \( \frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MC} \)
6. У нас есть: \( AB = 7 \), \( BM = 7 \), \( MC = AM \).
7. Подставим известные значения в теорему о биссектрисе: \( \frac{7}{AC} = \frac{7}{MC} \)
8. Из этого следует, что \( AC = MC \).
9. Но мы знаем, что \( AC = AM + MC \).
10. Так как \( AC = MC \) и \( MC = AM \), то \( AM = MC = AC \). Это возможно только если \( AM = 0 \) и \( MC = 0 \), что не соответствует условию задачи.
11. Проверим условие: AD перпендикулярна медиане BM, и AD — биссектриса угла BAC.
12. Если AD — биссектриса угла BAC, то \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \).
13. Если AD ⊥ BM, то в треугольнике ABM, если AD — биссектриса, то AB = AM.
14. По условию, AB = 7, значит AM = 7.
15. Так как BM — медиана, то MC = AM = 7.
16. Следовательно, AC = AM + MC = 7 + 7 = 14.

Ответ: AC = 14.