Игральный кубик бросают до тех пор, пока не выпадет 2 очка. Найди вероятность того, что для этого понадобится более 1, но менее 4 бросков.

Решение:

Задача описывает геометрическое распределение. Вероятность выпадения 2 очков на игральном кубике равна \( p = \frac{1}{6} \). Вероятность невыпадения 2 очков равна \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \).

Нас интересует вероятность того, что понадобится более 1, но менее 4 бросков. Это означает, что 2 очка выпадет либо на 2-м, либо на 3-м броске.

Вероятность того, что 2 очка выпадет ровно на \( k \)-м броске, равна \( P(X=k) = q^{k-1}p \).

1. Вероятность того, что 2 очка выпадет на 2-м броске (т.е. понадобится ровно 2 броска):
   \( P(X=2) = q^{2-1}p = q^1 p = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36} \).
2. Вероятность того, что 2 очка выпадет на 3-м броске (т.е. понадобится ровно 3 броска):
   \( P(X=3) = q^{3-1}p = q^2 p = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216} \).

Искомая вероятность — это сумма вероятностей этих двух несовместных событий:

\[ P(\text{более 1, но менее 4 бросков}) = P(X=2) + P(X=3) \]

\[ = \frac{5}{36} + \frac{25}{216} \]

Приведем дроби к общему знаменателю 216:

\[ = \frac{5 \cdot 6}{36 \cdot 6} + \frac{25}{216} = \frac{30}{216} + \frac{25}{216} = \frac{30 + 25}{216} = \frac{55}{216} \]

Ответ: \( \frac{55}{216} \)