2. Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет шестёрка. Найдите вероятность того, что будет сделано: а) ровно 2 броска; в) ровно 6 бросков; б) ровно 3 броска; г) не более 4 бросков.

Вероятность выпадения шестерки при одном броске игральной кости равна $$\frac{1}{6}$$. Вероятность не выпадения шестерки равна $$1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$.

а) Вероятность того, что шестерка выпадет ровно на втором броске, равна вероятности того, что первый бросок не будет шестеркой, а второй будет шестеркой:

$$P(2) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36} ≈ 0.139$$

б) Вероятность того, что шестерка выпадет ровно на третьем броске:

$$P(3) = (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216} ≈ 0.116$$

в) Вероятность того, что шестерка выпадет ровно на шестом броске:

$$P(6) = (\frac{5}{6})^5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3125}{46656} ≈ 0.067$$

г) Вероятность того, что шестерка выпадет не более чем за 4 броска, равна сумме вероятностей выпадения шестерки на первом, втором, третьем или четвертом броске:

$$P(≤4) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4)$$ $$P(1) = \frac{1}{6}$$ $$P(2) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}$$ $$P(3) = (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6}$$ $$P(4) = (\frac{5}{6})^3 \cdot \frac{1}{6}$$ $$P(≤4) = \frac{1}{6} + \frac{5}{36} + \frac{25}{216} + \frac{125}{1296} = \frac{216 + 180 + 150 + 125}{1296} = \frac{671}{1296} ≈ 0.518$$

Ответ: а) $$\frac{5}{36}$$, б) $$\frac{25}{216}$$, в) $$\frac{3125}{46656}$$, г) $$\frac{671}{1296}$$