Я хочу купить новую видеоигру, поэтому я буду / собираюсь копить свои карманные деньги.
В данном предложении речь идет о заранее принятом решении, которое является планом на будущее. В таких случаях используется конструкция to be going to.
Следовательно, правильный вариант: I'm going to save.
Ответ: I want to buy a new video game so I'll / 'm going to save my pocket money.