Контрольные задания > Хорда AB пересекает диаметр окружности CD в точке E. Найдите радиус окружности, если AE = 4, EB = 2,5, CE/ED = 2/5.
Вопрос:

Хорда AB пересекает диаметр окружности CD в точке E. Найдите радиус окружности, если AE = 4, EB = 2,5, CE/ED = 2/5.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Краткое пояснение: Для решения задачи применим теорему о секущих и хордах, а также свойства диаметра и радиуса окружности.

Пошаговое решение:

  1. Обозначения: Пусть радиус окружности равен R. Диаметр CD = 2R.
  2. Свойства хорд: По теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков хорды AB равно произведению отрезков хорды CD. То есть, AE \(\cdot\) EB = CE \(\cdot\) ED.
  3. Нахождение отрезков CD: Из условия CE/ED = 2/5, обозначим CE = 2x и ED = 5x. Тогда CD = CE + ED = 2x + 5x = 7x.
  4. Связь с радиусом: Так как CD — диаметр, то CD = 2R. Следовательно, 7x = 2R, откуда x = 2R/7.
  5. Выражение CE и ED через R: CE = 2x = 2 \(\cdot\) (2R/7) = 4R/7. ED = 5x = 5 \(\cdot\) (2R/7) = 10R/7.
  6. Применение теоремы о пересекающихся хордах: AE \(\cdot\) EB = CE \(\cdot\) ED. Подставляем известные значения: 4 \(\cdot\) 2,5 = (4R/7) \(\cdot\) (10R/7).
  7. Вычисление: 10 = 40R²/49.
  8. Нахождение R²: R² = 10 \(\cdot\) 49 / 40 = 490 / 40 = 49 / 4.
  9. Нахождение радиуса R: R = \(\sqrt{49/4}\) = 7/2 = 3,5.

Ответ: 3,5

ГДЗ по фото 📸