Груз, прикреплённый к пружине жесткостью 200 Н/м, отклонили от положения равновесия и отпустили, в результате чего он начал совершать колебания вдоль горизонтальной плоскости Ох (см. рисунок). В таблице приведены изменения координаты груза Х с течением времени t. t, c | 0 | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1 | 1,2 | 1,4 | 1,6 x, см | 20 | 14,2 | 0 | -14,2 | -20 | -14,2 | 0 | 14,2 | 20 Определите кинетическую энергию груза в момент времени 0,6 с.

Решение:

Чтобы определить кинетическую энергию груза, нам нужно знать его массу и скорость в данный момент времени. Из таблицы мы знаем координату груза \( x \) в момент времени \( t = 0,6 \) с, которая равна \( -14,2 \) см.

Для нахождения скорости нам нужно знать массу груза \( M \) и жесткость пружины \( k \). Из условия нам известна жесткость пружины: \( k = 200 \) Н/м.

Для нахождения скорости нам понадобится найти амплитуду колебаний и период (или циклическую частоту).

Амплитуда \( A \) — это максимальное отклонение от положения равновесия. По таблице, максимальное значение \( x \) равно 20 см (или 0,2 м) при \( t = 0 \) с.

Таким образом, амплитуда \( A = 20 \) см = \( 0,2 \) м.

Период \( T \) — время одного полного колебания. По таблице, груз проходит путь от \( x = 20 \) м до \( x = -20 \) м (половина периода) за \( 0,8 \) с. Следовательно, полный период \( T = 2 \cdot 0,8 \) с = \( 1,6 \) с.

Циклическая частота \( \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1,6} = \frac{5\pi}{4} \) рад/с.

Закон движения груза можно описать как \( x(t) = A \cos(\omega t) \) (если начало движения при \( t=0 \) в максимальном отклонении).

Скорость груза \( v(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t) \).

В момент времени \( t = 0,6 \) с:

\( \omega t = \frac{5\pi}{4} \cdot 0,6 = \frac{3\pi}{4} \)

\( v(0,6) = -0,2 \cdot \frac{5\pi}{4} \sin(\frac{3\pi}{4}) = -0,2 \cdot \frac{5\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\pi\sqrt{2}}{16} \) м/с.

Для нахождения кинетической энергии \( E_k = \frac{1}{2} M v^2 \) нам нужна масса \( M \). Её можно найти из соотношения \( \omega = \sqrt{\frac{k}{M}} \), откуда \( M = \frac{k}{\omega^2} \).

\( M = \frac{200}{(\frac{5\pi}{4})^2} = \frac{200 \cdot 16}{25\pi^2} = \frac{128}{\pi^2} \) кг.

Теперь рассчитаем кинетическую энергию в момент времени \( t = 0,6 \) с:

\( E_k = \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{128}{\pi^2} \cdot (-\frac{\pi\sqrt{2}}{16})^2 = \frac{64}{\pi^2} \cdot \frac{\pi^2 \cdot 2}{256} = \frac{64 \cdot 2}{256} = \frac{128}{256} = 0,5 \) Дж.

Альтернативный способ (с использованием закона сохранения энергии):

Полная энергия системы \( E = \frac{1}{2} k A^2 \) (когда скорость равна 0).

\( E = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot (0,2)^2 = 100 \cdot 0,04 = 4 \) Дж.

Потенциальная энергия в момент времени \( t = 0,6 \) с равна \( E_p = \frac{1}{2} k x^2 \).

\( x = -14,2 \) см = \( -0,142 \) м.

\( E_p = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot (-0,142)^2 = 100 \cdot 0,020164 = 2,0164 \) Дж.

Кинетическая энергия \( E_k = E - E_p \).

\( E_k = 4 - 2,0164 = 1,9836 \) Дж.

Проверка по таблице:

Заметим, что для \( t=0 \) \( x=20 \) см. Для \( t=0,4 \) \( x=0 \). Для \( t=0,8 \) \( x=-20 \) см. Для \( t=1,2 \) \( x=0 \). Для \( t=1,6 \) \( x=20 \) см. Период \( T = 1,6 \) с. Амплитуда \( A = 20 \) см = 0,2 м.

При \( t=0,6 \) с, \( x=-14,2 \) см. \( E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \text{ Н/м} \cdot (-0,142 \text{ м})^2 = 100 \cdot 0,020164 = 2,0164 \) Дж.

Максимальная потенциальная энергия \( E_{p,max} = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \text{ Н/м} \cdot (0,2 \text{ м})^2 = 100 \cdot 0,04 = 4 \) Дж.

Кинетическая энергия \( E_k = E_{total} - E_p = E_{p,max} - E_p \) (так как полная энергия равна максимальной потенциальной энергии).

\( E_k = 4 \text{ Дж} - 2,0164 \text{ Дж} = 1,9836 \) Дж.

Округляя до двух знаков после запятой, получаем 1,98 Дж. Однако, в таблице для \( t = 0,4 \) с и \( t = 1,2 \) с \( x=0 \), что означает, что в эти моменты кинетическая энергия максимальна. Максимальная кинетическая энергия равна полной энергии, которая составляет 4 Дж.

Возвращаясь к \( t = 0,6 \) с, \( x = -14,2 \) см. Это значение не является корнем уравнения \( x = A \cos(\omega t) \) при \( \omega = \frac{5\pi}{4} \).

Проверим данные таблицы. Если \( x(0) = 20 \), \( x(0,4) = 0 \), \( x(0,8) = -20 \), \( x(1,2) = 0 \), \( x(1,6) = 20 \). Это соответствует гармоническому колебанию с периодом 1,6 с.

\( \omega = \frac{2\pi}{1,6} = 1,25 \pi \) рад/с.

\( x(t) = 20 \cos(1,25 \pi t) \) (в см).

В момент \( t = 0,6 \) с:

\( x(0,6) = 20 \cos(1,25 \pi \cdot 0,6) = 20 \cos(0,75 \pi) = 20 \cos(\frac{3\pi}{4}) = 20 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -10\sqrt{2} \) см.

\( -10\sqrt{2} \approx -10 \cdot 1,414 = -14,14 \) см.

Значение в таблице \( -14,2 \) см близко к этому.

Скорость \( v(t) = -20 \cdot 1,25 \pi \sin(1,25 \pi t) = -25 \pi \sin(1,25 \pi t) \) (в см/с).

\( v(0,6) = -25 \pi \sin(1,25 \pi \cdot 0,6) = -25 \pi \sin(0,75 \pi) = -25 \pi \sin(\frac{3\pi}{4}) = -25 \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{25\pi\sqrt{2}}{2} \) см/с.

\( E_k = \frac{1}{2} M v^2 \). \( \omega^2 = \frac{k}{M} \) \(\implies\) \( M = \frac{k}{\omega^2} \).

\( k = 200 \) Н/м = \( 2000000 \) дин/см.

\( M = \frac{2000000}{(1,25\pi)^2} \) г.

\( v^2 = (-\frac{25\pi\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{625 \pi^2 \cdot 2}{4} = \frac{625 \pi^2}{2} \) (см/с)^2.

\( E_k = \frac{1}{2} \cdot \frac{2000000}{(1,25\pi)^2} \cdot \frac{625 \pi^2}{2} = \frac{1000000}{1,5625 \pi^2} \cdot \frac{625 \pi^2}{2} = \frac{1000000}{1,5625} \cdot \frac{0,625}{2} = 640000 \cdot 0,3125 = 200000 \) дин·см = 2 Дж.

Снова через закон сохранения энергии:

\( E_{total} = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot (0,2)^2 = 4 \) Дж.

\( x = -14,2 \) см = \( -0,142 \) м.

\( E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot (-0,142)^2 = 100 \cdot 0,020164 = 2,0164 \) Дж.

\( E_k = E_{total} - E_p = 4 - 2,0164 = 1,9836 \) Дж.

Примем значение из таблицы \( x = -14,2 \) как точное.

Ответ: 1,98 Дж.