Груз массой m=12 кг находится на горизонтальной поверхности и движется по прямой АВ, имея в точке А начальную скорость Vo=20 м/с . Коэффициент трения скольжения груза о плоскость f=0,2. Переменная сила F составляет угол 30° с прямой АВ и меняется со временем по закону F=12(e0.13t-1) H. Найти закон движения груза.

Решение:

• Шаг 1: Анализ сил, действующих на груз.
• На груз действуют следующие силы:
  • Сила тяжести \[ P = mg \], где g - ускорение свободного падения (приближенно 9.8 м/с²).
  • Сила нормальной реакции опоры N.
  • Сила трения скольжения \[ F_{тр} = fN \], где f - коэффициент трения.
  • Переменная сила F, направленная под углом 30° к горизонту.
• Шаг 2: Уравнение движения в проекциях на оси x и y.
• Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси x и y:
  • На ось y: \[ N + F\sin(30°) - P = 0 \]
  • На ось x: \[ F\cos(30°) - F_{тр} = ma \], где a - ускорение груза.
• Шаг 3: Выражение для силы нормальной реакции опоры N.
• Из уравнения для оси y выразим N: \[ N = P - F\sin(30°) = mg - F\sin(30°) \]
• Шаг 4: Выражение для силы трения.
• Подставим выражение для N в формулу для силы трения: \[ F_{тр} = f(mg - F\sin(30°)) \]
• Шаг 5: Уравнение движения на ось x.
• Подставим выражение для силы трения в уравнение движения на ось x: \[ F\cos(30°) - f(mg - F\sin(30°)) = ma \]
• Шаг 6: Упрощение уравнения.
• Сгруппируем члены с F: \[ F(\cos(30°) + f\sin(30°)) - fmg = ma \]
• Шаг 7: Выражение для ускорения a.
• Выразим ускорение a: \[ a = \frac{F(\cos(30°) + f\sin(30°)) - fmg}{m} \]
• Шаг 8: Подстановка значения силы F.
• Подставим выражение для F: \[ a = \frac{12(e^{0.13t} - 1)(\cos(30°) + 0.2\sin(30°)) - 0.2 \cdot 12 \cdot 9.8}{12} \]
• Шаг 9: Упрощение выражения для ускорения.
• Упростим выражение: \[ a = (e^{0.13t} - 1)(\cos(30°) + 0.2\sin(30°)) - 0.2 \cdot 9.8 \]
• Шаг 10: Расчет числовых значений.
• \(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \), \(\sin(30°) = 0.5 \)
• \[ a = (e^{0.13t} - 1)(0.866 + 0.2 \cdot 0.5) - 1.96 \]
• \[ a = (e^{0.13t} - 1)(0.866 + 0.1) - 1.96 \]
• \[ a = (e^{0.13t} - 1)(0.966) - 1.96 \]
• \[ a = 0.966e^{0.13t} - 0.966 - 1.96 \]
• \[ a = 0.966e^{0.13t} - 2.926 \]
• Шаг 11: Интегрирование для нахождения скорости.
• Проинтегрируем ускорение по времени, чтобы найти скорость: \[ v(t) = \int a(t) dt = \int (0.966e^{0.13t} - 2.926) dt \]
• \[ v(t) = \frac{0.966}{0.13}e^{0.13t} - 2.926t + C_1 \]
• Шаг 12: Определение константы интегрирования C₁.
• Используем начальное условие v(0) = 20 м/с: \[ 20 = \frac{0.966}{0.13}e^{0} - 2.926 \cdot 0 + C_1 \]
• \[ 20 = \frac{0.966}{0.13} + C_1 \]
• \[ C_1 = 20 - \frac{0.966}{0.13} \approx 20 - 7.43 = 12.57 \]
• Шаг 13: Выражение для скорости.
• Теперь у нас есть функция скорости: \[ v(t) = 7.43e^{0.13t} - 2.926t + 12.57 \]
• Шаг 14: Интегрирование для нахождения координаты.
• Проинтегрируем скорость по времени, чтобы найти координату x(t): \[ x(t) = \int v(t) dt = \int (7.43e^{0.13t} - 2.926t + 12.57) dt \]
• \[ x(t) = \frac{7.43}{0.13}e^{0.13t} - \frac{2.926}{2}t^2 + 12.57t + C_2 \]
• \[ x(t) = 57.15e^{0.13t} - 1.463t^2 + 12.57t + C_2 \]
• Шаг 15: Определение константы интегрирования C₂.
• Примем начальную координату x(0) = 0: \[ 0 = 57.15e^{0} - 1.463 \cdot 0^2 + 12.57 \cdot 0 + C_2 \]
• \[ C_2 = -57.15 \]
• Шаг 16: Закон движения груза.
• Окончательно, закон движения груза: \[ x(t) = 57.15e^{0.13t} - 1.463t^2 + 12.57t - 57.15 \]

Цифровой атлет!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей