ГОДОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ГЕОМЕТРИИ (8 КЛАСС) ВАРИАНТ 2

№1

Дано: Прямоугольный треугольник, катет \( a = 40 \), гипотенуза \( c = 50 \).

Найти: Второй катет \( b \).

Решение:

По теореме Пифагора \( a^2 + b^2 = c^2 \).

Выразим \( b \): \( b^2 = c^2 - a^2 \).

Подставим значения: \( b^2 = 50^2 - 40^2 = 2500 - 1600 = 900 \).

Извлечём квадратный корень: \( b = \sqrt{900} = 30 \).

Ответ: 30.

№2

Дано: Квадрат, описанный около окружности. Радиус окружности \( r = 32 \).

Найти: Площадь квадрата.

Решение:

Сторона квадрата \( a \), описанного около окружности, равна диаметру окружности: \( a = 2r \).

Подставим значение радиуса: \( a = 2 \cdot 32 = 64 \).

Площадь квадрата вычисляется по формуле \( S = a^2 \).

Подставим значение стороны: \( S = 64^2 = 4096 \).

Ответ: 4096.

№3

Дано: Параллелограмм. Площадь \( S = 72 \). Стороны \( a = 18 \), \( b = 12 \).

Найти: Высоты \( h_a \) и \( h_b \). Указать большую высоту.

Решение:

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле \( S = a \cdot h_a \) или \( S = b \cdot h_b \).

Найдем первую высоту: \( h_a = \frac{S}{a} = \frac{72}{18} = 4 \).

Найдем вторую высоту: \( h_b = \frac{S}{b} = \frac{72}{12} = 6 \).

Сравним высоты: \( h_b = 6 \) больше, чем \( h_a = 4 \).

Ответ: 6.

№4

Дано: Треугольник на клетчатой бумаге. Размер клетки 1x1.

Найти: Площадь треугольника.

Решение:

Основание треугольника \( a \) равно 4 клеткам, высота \( h \) равна 3 клеткам.

Площадь треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} a \cdot h \).

Подставим значения: \( S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \).

Ответ: 6.

№5

Дано: Колодец с «журавлем». Короткое плечо \( l_1 = 2 \) м. Длинное плечо \( l_2 = 7 \) м.

Найти: На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м.

Решение:

Это задача на рычаг. По правилу рычага произведение массы на плечо равно:

\( m_1 \cdot l_1 = m_2 \cdot l_2 \).

В данном случае, мы можем рассматривать перемещения как пропорциональные части плеча. Если конец короткого плеча поднимается на \( \Delta l_1 = 1 \) м, то конец длинного плеча опустится на \( \Delta l_2 \).

По аналогии с законом рычага, отношение перемещений обратно пропорционально отношению плеч:

\( \frac{\Delta l_2}{\Delta l_1} = \frac{l_1}{l_2} \).

Выразим \( \Delta l_2 \): \( \Delta l_2 = \Delta l_1 \cdot \frac{l_1}{l_2} \).

Подставим значения: \( \Delta l_2 = 1 \text{ м} \cdot \frac{2 \text{ м}}{7 \text{ м}} = \frac{2}{7} \) м.

Ответ: 2/7 м.