Given $$\angle NMK = 60^{\circ}$$, $$MO = ?$$

Решение:

В данной задаче мы имеем дело с касательной к окружности. \( NK \) является касательной, проведенной из точки \( M \) к окружности в точке \( N \). \( O \) — центр окружности, а \( MO \) — отрезок, соединяющий точку \( M \) с центром окружности.

Известно, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle MNO = 90^{\circ} \).

Нам дан угол \( \angle NMK = 60^{\circ} \) и длина радиуса \( ON = 10 \). Треугольник \( \triangle MNO \) является прямоугольным, где \( ON \) — катет, противолежащий углу \( \angle NMK \), а \( MO \) — гипотенуза.

Для нахождения \( MO \) мы можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике:

\( \sin(\angle NMK) = \frac{ON}{MO} \)

Подставим известные значения:

\( \sin(60^{\circ}) = \frac{10}{MO} \)

Мы знаем, что \( \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10}{MO} \)

Теперь выразим \( MO \):

\( MO = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

\( MO = \frac{20 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \)

Ответ: $$MO = \frac{20\sqrt{3}}{3}$$.