Given $$\angle MCB_1 = ?$$

Question

Вопрос:

Given $$\angle MCB_1 = ?$$

Открыть фото

Ответ:

📄 Все ответы 📸 Решить моё задание

Accepted Answer

Решение:

В данном треугольнике $ \triangle ABC $ известны некоторые углы и точки. $ M $ — точка пересечения биссектрис углов $ \angle A $ и $ \angle B $. $ A_1 $ и $ B_1 $ — точки на сторонах $ AC $ и $ BC $ соответственно.

Нам дан угол $ \angle AMB = 128^{\circ} $. $ BM $ является биссектрисой $ \angle B $, а $ AM $ — биссектрисой $ \angle A $. Следовательно, $ \angle ABM = \angle MBC $ и $ \angle BAM = \angle MAC $.

Рассмотрим треугольник $ \triangle AMB $. Сумма углов в треугольнике равна $ 180^{\circ} $.

$ \angle MAB + \angle MBA + \angle AMB = 180^{\circ} $

$ \angle MAB + \angle MBA + 128^{\circ} = 180^{\circ} $

$ \angle MAB + \angle MBA = 180^{\circ} - 128^{\circ} = 52^{\circ} $

Так как $ AM $ и $ BM $ — биссектрисы, то:

$ \angle BAM = \angle MAC $ и $ \angle ABM = \angle MBC $.

Следовательно, $ \angle A = 2 \cdot \angle MAB $ и $ \angle B = 2 \cdot \angle MBA $.

Сумма этих углов в $ \triangle ABC $ равна:

$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} $

$ 2 \cdot \angle MAB + 2 \cdot \angle MBA + \angle C = 180^{\circ} $

$ 2 (\angle MAB + \angle MBA) + \angle C = 180^{\circ} $

Мы знаем, что $ \angle MAB + \angle MBA = 52^{\circ} $. Подставим это значение:

$ 2 (52^{\circ}) + \angle C = 180^{\circ} $

$ 104^{\circ} + \angle C = 180^{\circ} $

$ \angle C = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ} $

Теперь вернемся к $ \triangle AMB $. Мы нашли, что $ \angle MAB + \angle MBA = 52^{\circ} $.

Нас просят найти $ \angle MCB_1 $. По условию $ B_1 $ — точка на стороне $ BC $. Также $ M $ является точкой пересечения биссектрис. $ CM $ должна быть биссектрисой $ \angle C $.

Если $ CM $ — биссектриса $ \angle C $, то $ \angle MCB = \frac{\angle C}{2} $.

$ \angle MCB = \frac{76^{\circ}}{2} = 38^{\circ} $.

Так как $ B_1 $ лежит на $ BC $, то $ \angle MCB_1 = \angle MCB $.

Ответ: $$\angle MCB_1 = 38^{\circ}$$.