геометрия 8 ки Работу выполняем в рабочих тетрадях Контрольная работа по теме: «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите гипотенузу данного треугольника. Чертеж и оформление обязательны. 2. Определите значение катета прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 25 дм, а второй катет 15 дм. Чертеж и оформление обязательны. 3. Используя основное тригонометрическое тождество и значение cosa = nайдите sina и tga. 5-9 4. Постройте прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Найдите тангенс А и косинус 2B, если ВС = 8 см, АВ = 17 см, АС = 15 см.

Ответ: 1) 13 см; 2) 20 дм; 3) sina = \(\frac{2\sqrt{14}}{9}\), tga = \(\frac{2\sqrt{14}}{5}\); 4) tg∠A = \(\frac{8}{15}\), cos∠B = \(\frac{8}{17}\)

1. Задача 1:

   Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Нужно найти гипотенузу.

   По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

   \[c^2 = a^2 + b^2\]

   где c - гипотенуза, a и b - катеты.

   Подставляем значения:

   \[c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\]

   Извлекаем квадратный корень:

   \[c = \sqrt{169} = 13\]

   Ответ: Гипотенуза равна 13 см.

2. Задача 2:

   Гипотенуза равна 25 дм, один катет равен 15 дм. Нужно найти другой катет.

   По теореме Пифагора:

   \[a^2 = c^2 - b^2\]

   где a - искомый катет, c - гипотенуза, b - известный катет.

   Подставляем значения:

   \[a^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400\]

   Извлекаем квадратный корень:

   \[a = \sqrt{400} = 20\]

   Ответ: Неизвестный катет равен 20 дм.

3. Задача 3:

   Используя основное тригонометрическое тождество и значение \(\cos \alpha = \frac{5}{9}\), нужно найти \(\sin \alpha\) и \(\tan \alpha\).

   Основное тригонометрическое тождество:

   \[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]

   Выражаем \(\sin \alpha\):

   \[\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\]

   \[\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}\]

   Подставляем значение косинуса:

   \[\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{9}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{81}} = \sqrt{\frac{81 - 25}{81}} = \sqrt{\frac{56}{81}} = \frac{\sqrt{56}}{9} = \frac{2\sqrt{14}}{9}\]

   Теперь найдем тангенс:

   \[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2\sqrt{14}}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{2\sqrt{14}}{5}\]

   Ответ: \(\sin \alpha = \frac{2\sqrt{14}}{9}\), \(\tan \alpha = \frac{2\sqrt{14}}{5}\)

4. Задача 4:

   Постройте прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Найдите тангенс ∠A и косинус ∠B, если BC = 8 см, AB = 17 см, AC = 15 см.

   В прямоугольном треугольнике ABC:

   \[\tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}\]

   \[\cos B = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}\]

   Ответ: \(\tan \angle A = \frac{8}{15}\), \(\cos \angle B = \frac{8}{17}\)

Ответ: 1) 13 см; 2) 20 дм; 3) sina = \(\frac{2\sqrt{14}}{9}\), tga = \(\frac{2\sqrt{14}}{5}\); 4) tg∠A = \(\frac{8}{15}\), cos∠B = \(\frac{8}{17}\)