Геометрия 9. Итоговая работа. Вариант 1. По данным рисунка найдите x.

Решение:

Перед нами треугольник ABC, в котором известны два угла и одна сторона. Используем теорему синусов.

В треугольнике ABC:

• \( \angle A = 45^{\circ} \)
• \( \angle B = 60^{\circ} \)
• \( AC = 2\sqrt{3} \)
• \( BC = x \)

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \). Найдём \( \angle C \):

\[ \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 60^{\circ} = 75^{\circ} \]

Теорема синусов:

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \]\[ \frac{x}{\sin 45^{\circ}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}} \]\[ x = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} \]\[ x = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]\[ x = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \]\[ x = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \]\[ x = 2\sqrt{2} \]

Альтернативный метод (через высоту):

Проведём высоту BH из вершины B к стороне AC. Получим два прямоугольных треугольника: ABH и CBH.

В \( \triangle ABH \):

\[ \angle BAH = 45^{\circ} \implies \angle ABH = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \]\[ \triangle ABH \) — равнобедренный, значит \( AH = BH \).

В \( \triangle CBH \):

\[ \angle BCH = 75^{\circ} \quad (\text{найдено ранее}) \]\[ \angle CBH = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ} \]\[ \tan C = \frac{BH}{CH} \implies BH = CH \cdot \tan 75^{\circ} \]\[ \tan 75^{\circ} = \tan(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \frac{\tan 45^{\circ} + \tan 30^{\circ}}{1 - \tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \]\[ BH = CH (2 + \sqrt{3}) \]\[ AC = AH + CH = 2\sqrt{3} \]\[ BH + CH = 2\sqrt{3} \]\[ CH (2 + \sqrt{3}) + CH = 2\sqrt{3} \]\[ CH (3 + \sqrt{3}) = 2\sqrt{3} \]\[ CH = \frac{2\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{6\sqrt{3} - 6}{9 - 3} = \frac{6\sqrt{3} - 6}{6} = \sqrt{3} - 1 \]\[ BH = AC - CH = 2\sqrt{3} - (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 1 \]\[ x^2 = BH^2 + CH^2 = (\sqrt{3} + 1)^2 + (\sqrt{3} - 1)^2 = (3 + 2\sqrt{3} + 1) + (3 - 2\sqrt{3} + 1) = 4 + 2\sqrt{3} + 4 - 2\sqrt{3} = 8 \]\[ x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Ответ: x = 2√2