Контрольные задания > ГБОУ Школа № 14 Алгебра и начала математического анализа 2 полугодие 2. Контрольно-измерительный материал 10 класс 1. Решите уравнение √3+2х = х. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней. 2. Найдите корень уравнения log4 28x+8 = 4. 1 612,5x+2= 216 3. Найдите корень уравнения sin(2x-3) = -0,5. 6 4. Решите уравнение положительный корень. 5. а) Решите уравнение 1085 (x² - 4x) = 1. б) Укажите его корни на отрезке [10g3 0,1; log3 10). 6. Решите неравенство 7-²-3 10g2 ((7-3) (7-²+16-1)) + 10g27-x²+16-1 B ответе напишите наименьший > 1082 (77-²-2)².
Вопрос:

ГБОУ Школа № 14 Алгебра и начала математического анализа 2 полугодие 2. Контрольно-измерительный материал 10 класс 1. Решите уравнение √3+2х = х. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней. 2. Найдите корень уравнения log4 28x+8 = 4. 1 612,5x+2= 216 3. Найдите корень уравнения sin(2x-3) = -0,5. 6 4. Решите уравнение положительный корень. 5. а) Решите уравнение 1085 (x² - 4x) = 1. б) Укажите его корни на отрезке [10g3 0,1; log3 10). 6. Решите неравенство 7-²-3 10g2 ((7-3) (7-²+16-1)) + 10g27-x²+16-1 B ответе напишите наименьший > 1082 (77-²-2)².

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение: Решаем каждое уравнение и неравенство пошагово, используя соответствующие математические методы и свойства. Обратите внимание на ограничения и условия для каждого задания.

1. Решение уравнения √3+2х = х

  • Шаг 1: Возводим обе части уравнения в квадрат: \[(\sqrt{3+2x})^2 = x^2\] \[3+2x = x^2\]
  • Шаг 2: Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[x^2 - 2x - 3 = 0\]
  • Шаг 3: Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Здесь корни легко подбираются: \[(x-3)(x+1) = 0\] \[x_1 = 3, x_2 = -1\]
  • Шаг 4: Проверяем корни, подставляя их в исходное уравнение:
    • Для x = 3: \[\sqrt{3+2(3)} = \sqrt{9} = 3\] Подходит.
    • Для x = -1: \[\sqrt{3+2(-1)} = \sqrt{1} = 1
      eq -1\] Не подходит.
  • Шаг 5: Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней. В данном случае, корень только один, x = 3.

Ответ: 3

2. Решение уравнения log₄(2^(8x+8)) = 4

  • Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов: \[log_4(2^{8x+8}) = 4\] \[2^{8x+8} = 4^4\]
  • Шаг 2: Выражаем обе части уравнения через степень с основанием 2: \[2^{8x+8} = (2^2)^4\] \[2^{8x+8} = 2^8\]
  • Шаг 3: Приравниваем показатели степеней: \[8x+8 = 8\]
  • Шаг 4: Решаем линейное уравнение: \[8x = 0\] \[x = 0\]

Ответ: 0

3. Решение уравнения 6^(12.5x+2) = 1/216

  • Шаг 1: Преобразуем правую часть уравнения: \[\frac{1}{216} = 6^{-3}\]
  • Шаг 2: Запишем уравнение в виде: \[6^{12.5x+2} = 6^{-3}\]
  • Шаг 3: Приравниваем показатели: \[12.5x + 2 = -3\]
  • Шаг 4: Решаем уравнение относительно x: \[12.5x = -5\] \[x = \frac{-5}{12.5} = -\frac{5}{12.5} = -\frac{2}{5} = -0.4\]

Ответ: -0.4

4. Решение уравнения sin(π(2x-3)/6) = -0.5

  • Шаг 1: Находим общий вид решения для синуса: \[sin(t) = -0.5\] \[t = arcsin(-0.5) = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad t = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]
  • Шаг 2: Подставляем t = π(2x-3)/6: \[\frac{\pi(2x-3)}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad \frac{\pi(2x-3)}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k\]
  • Шаг 3: Упрощаем и решаем для x: \[2x-3 = -1 + 12k, \quad 2x-3 = 7 + 12k\] \[2x = 2 + 12k, \quad 2x = 10 + 12k\] \[x = 1 + 6k, \quad x = 5 + 6k\]
  • Шаг 4: Ищем наименьший положительный корень. Для k = 0, получаем x = 1 и x = 5. Наименьший положительный корень x = 1.

Ответ: 1

5. Решение уравнения log₅(x² - 4x) = 1

  • Шаг 1: Преобразуем уравнение: \[log_5(x^2 - 4x) = 1\] \[x^2 - 4x = 5^1\] \[x^2 - 4x - 5 = 0\]
  • Шаг 2: Решаем квадратное уравнение: \[(x-5)(x+1) = 0\] \[x_1 = 5, x_2 = -1\]
  • Шаг 3: Проверяем корни на допустимость:
    • Для x = 5: \[5^2 - 4(5) = 25 - 20 = 5 > 0\] Подходит.
    • Для x = -1: \[(-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5 > 0\] Подходит.
  • Шаг 4: Укажите корни на отрезке [log₃0.1; log₃10]. \[log_3 0.1 \approx -2.0959\] \[log_3 10 \approx 2.0959\] Таким образом, корень x = -1 попадает в указанный отрезок, а x = 5 не попадает.

Ответ: -1, 5, на отрезке [-2.0959, 2.0959] лежит корень -1

6. Решение неравенства log₂( (7^(-x²) - 3)(7^(-x²) + 16 - 1) ) + log₂ ( (7^(-x²) - 3)/(7^(-x²) + 16 - 1) ) > log₂ (7^(7-x²) - 2)²

  • Шаг 1: Упростим выражение, используя свойства логарифмов. Пусть a = 7^(-x²) - 3 и b = 7^(-x²) + 15. Тогда выражение можно переписать как: \[log_2(a \cdot b) + log_2(\frac{a}{b}) > log_2(7^{7-x^2} - 2)^2\] \[log_2(a \cdot b \cdot \frac{a}{b}) > log_2(7^{7-x^2} - 2)^2\] \[log_2(a^2) > log_2(7^{7-x^2} - 2)^2\]
  • Шаг 2: Упростим дальше: \[a^2 > (7^{7-x^2} - 2)^2\] \[(7^{-x^2} - 3)^2 > (7^{7-x^2} - 2)^2\]
  • Шаг 3: Раскроем квадраты: \[7^{-2x^2} - 6 \cdot 7^{-x^2} + 9 > 7^{14-2x^2} - 4 \cdot 7^{7-x^2} + 4\]
  • Шаг 4: Сделаем замену t = 7^{-x²}: \[t^2 - 6t + 9 > 7^{14} \cdot t^2 - 4 \cdot 7^7 \cdot t + 4\]
  • Шаг 5: Перенесем все в одну сторону: \[0 > (7^{14}-1)t^2 - (4 \cdot 7^7 - 6)t - 5\]
  • Шаг 6: Аналитическое решение этого неравенства затруднительно. Необходимо учитывать ОДЗ логарифмов и ограничения, накладываемые на переменную x. Заметим, что должно выполняться условие: 7^(-x²) - 3 > 0, то есть 7^(-x²) > 3, что эквивалентно -x² > log₇(3), или x² < -log₇(3), что невозможно, так как x² всегда неотрицательно. Таким образом, неравенство не имеет решений.

Ответ: Нет решений

ГДЗ по фото 📸