Газ неизменной массы совершает замкнутый цикл 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 1. Графики циклов и их заданные параметры в относительных единицах для соответствующих вариантов заданы в табл. 3. 1. Заполнить табл. 3.1 (описать соответствующие процессы) и табл. 3.2 (указать параметры в соответствующих состояниях). 2. Изобразить графики заданного цикла, соблюдая масштаб и откладывая на осях координат указанные переменные. абсолютная температура T₁ = T₀/2; давление p₁ = p₀; плотность ρ₁ = ρ₀. p-T; p-V; ρ-T

Решение:

Для решения задачи необходимо построить график цикла в координатах p-V, p-T, ρ-T, а также заполнить таблицы 3.1 и 3.2. Для этого проанализируем каждый этап цикла, используя предоставленный график в координатах V-T и данные.

Этап 1: 1 → 2

График на этапе 1 → 2 представляет собой прямую, проходящую через начало координат, что соответствует изохорному процессу, где V = const. Однако, на предоставленном графике V-T, этот участок является изобарным, так как V увеличивается, а T увеличивается пропорционально. Проверим параметры:

Дано: \( V_1 = V_0 \), \( T_1 = T_0/2 \), \( p_1 = p_0 \)

На графике V-T: V₂ = 2V₀, T₂ = 2T₀. Из закона Шарля (изобарный процесс, \( p=const \)): \( \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \). \( \frac{V_0}{T_0/2} = \frac{2V_0}{2T_0} \) → \( \frac{2V_0}{T_0} = \frac{2V_0}{T_0} \). Это подтверждает, что процесс 1 → 2 является изобарным.

• Процесс: Изобарный.
• p-V: \( p = p_1 = p_0 \) (константа). V увеличивается от \( V_0 \) до \( 2V_0 \).
• p-T: \( p = p_1 = p_0 \) (константа). T увеличивается от \( T_0/2 \) до \( 2T_0 \).
• ρ-T: \( \rho = \frac{m}{V} \). Так как \( m \) и \( p \) постоянны, \( \rho \) обратно пропорционально \( V \). \( \rho_1 = \frac{m}{V_0} \), \( \rho_2 = \frac{m}{2V_0} = \frac{1}{2} \rho_1 \). \( \rho \) уменьшается с ростом \( T \).

Этап 2: 2 → 3

На графике V-T: V₂ = 2V₀, T₂ = 2T₀; V₃ = 2V₀, T₃ = T₀. Этот процесс происходит при постоянном объеме (изохорный).

• Процесс: Изохорный.
• p-V: \( V = V_2 = 2V_0 \) (константа). Давление падает от \( p_2 \) до \( p_3 \). \( p \) пропорционально \( T \). \( \frac{p_2}{T_2} = \frac{p_3}{T_3} \). \( \frac{p_0}{2T_0} = \frac{p_3}{T_0} \) → \( p_3 = \frac{p_0}{2} \).
• p-T: \( p \) уменьшается линейно с \( T \). \( p_3 = p_0/2 \) при \( T_3 = T_0 \).
• ρ-T: \( \rho = \frac{m}{V} \). \( V \) постоянно, поэтому \( \rho \) постоянно: \( \rho_2 = \frac{m}{2V_0} \), \( \rho_3 = \frac{m}{2V_0} \).

Этап 3: 3 → 4

На графике V-T: V₃ = 2V₀, T₃ = T₀; V₄ = 3V₀, T₄ = 3T₀. Этот процесс представляет собой изотермическое сжатие, где V увеличивается, а T увеличивается.

Проверим, является ли это изотермическим процессом. Если \( T=const \), то \( p \) обратно пропорционально \( V \). На графике V-T, T увеличивается, а V увеличивается. Если это изотерма, то T должно быть постоянным. На графике V-T, линия 3-4 не является горизонтальной, следовательно, это не изотерма. Это просто линейный рост V и T.

Давайте предположим, что график V-T имеет следующие точки:

• 1: \( V_0, T_0/2 \)
• 2: \( 2V_0, 2T_0 \)
• 3: \( 2V_0, T_0 \)
• 4: \( 3V_0, 3T_0 \)
• 5: \( V_0, T_0 \)

Этап 3 → 4: \( V \) увеличивается от \( 2V_0 \) до \( 3V_0 \), \( T \) увеличивается от \( T_0 \) до \( 3T_0 \). Это линейная зависимость \( V(T) \). \( \frac{V}{T} = \text{const} \). \( \frac{2V_0}{T_0} = \frac{3V_0}{3T_0} \) → \( 2 = 1 \). Это противоречие. Следовательно, линия 3-4 на графике V-T не является прямой, проходящей через начало координат.

Из графика V-T: \( V_3 = 2V_0, T_3 = T_0 \). \( V_4 = 3V_0, T_4 = 3T_0 \). \( p_3 = p_0/2 \).

Если процесс 3 → 4 является изотермическим, то \( T_3 = T_4 \). Но \( T_3 = T_0 \) и \( T_4 = 3T_0 \). Следовательно, это не изотерма.

Если предположить, что линия 3-4 на графике V-T является изотермой, то \( T=const \). Это противоречит данным графика. Предположим, что линия 3-4 на графике p-T является изотермой. Но у нас дан график V-T.

Давайте обратимся к легенде справа: \( p-T \), \( p-V \), \( \rho-T \). Это означает, что мы должны построить графики в этих координатах. Также дано \( T_1 = T_0/2, p_1 = p_0, \rho_1 = \rho_0 \). Это соответствует состоянию 1.

Анализ этапа 3 → 4:

• Процесс: Если линия 3-4 на графике V-T является прямой, проходящей через начало координат, то \( V \) пропорционально \( T \), то есть \( \frac{V}{T} = \text{const} \). Это соответствует изобарному процессу. Но если \( p=const \), то \( V \) пропорционально \( T \).
• p-V: \( p \) растет, \( V \) растет.
• p-T: \( p \) растет, \( T \) растет.
• ρ-T: \( \rho = m/V \). \( \rho \) уменьшается с ростом \( V \). \( T \) растет.

Исходя из общего вида цикла, 3 → 4 — это, скорее всего, изотермический процесс, где T = const. Но график V-T показывает, что T растет. Это противоречие.

Давайте переинтерпретируем график V-T, предполагая, что он корректен, и попробуем вывести остальные зависимости.

Состояние 1: \( V_1=V_0, T_1=T_0/2, p_1=p_0 \)

Состояние 2: \( V_2=2V_0, T_2=2T_0 \). Из \( pV=nRT \), \( p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2 \). \( p_0V_0/(T_0/2) = p_2(2V_0)/(2T_0) \) → \( 2p_0V_0/T_0 = p_2V_0/T_0 \) → \( p_2 = 2p_0 \). Процесс 1→2 — изобарный, \( p=p_0 \).

Состояние 3: \( V_3=2V_0, T_3=T_0 \). \( p_3V_3/T_3 = p_2V_2/T_2 \) → \( p_3(2V_0)/T_0 = (2p_0)(2V_0)/(2T_0) \) → \( p_3(2V_0)/T_0 = 2p_0V_0/T_0 \) → \( p_3 = p_0 \). Процесс 2→3 — изохорный, \( V=2V_0 \).

Состояние 4: \( V_4=3V_0, T_4=3T_0 \). \( p_4V_4/T_4 = p_3V_3/T_3 \) → \( p_4(3V_0)/(3T_0) = p_0(2V_0)/T_0 \) → \( p_4V_0/T_0 = 2p_0V_0/T_0 \) → \( p_4 = 2p_0 \). Процесс 3→4 — изохорный, \( V=2V_0 \).

Состояние 5: \( V_5=V_0, T_5=T_0 \). \( p_5V_5/T_5 = p_4V_4/T_4 \) → \( p_5V_0/T_0 = (2p_0)(3V_0)/(3T_0) \) → \( p_5V_0/T_0 = 2p_0V_0/T_0 \) → \( p_5 = 2p_0 \). Процесс 4→5 — изобарный, \( p=2p_0 \).

Проверка замкнутости цикла:

На этапе 5 → 1: \( V_1=V_0, T_1=T_0/2, p_1=p_0 \). \( p_1V_1/T_1 = p_0V_0/(T_0/2) = 2p_0V_0/T_0 \). \( p_5V_5/T_5 = (2p_0)V_0/T_0 = 2p_0V_0/T_0 \). Цикл замкнут.

Пересмотр этапов на основе полученных давлений:

1 → 2: \( V \) растет от \( V_0 \) до \( 2V_0 \), \( T \) растет от \( T_0/2 \) до \( 2T_0 \), \( p \) постоянно \( p_0 \). Это ИЗОБАРНЫЙ процесс.

2 → 3: \( V \) постоянно \( 2V_0 \), \( T \) падает от \( 2T_0 \) до \( T_0 \), \( p \) падает от \( 2p_0 \) до \( p_0 \). Это ИЗОХОРНЫЙ процесс.

3 → 4: \( V \) растет от \( 2V_0 \) до \( 3V_0 \), \( T \) растет от \( T_0 \) до \( 3T_0 \), \( p \) растет от \( p_0 \) до \( 2p_0 \). Это НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ, НЕИЗОБАРНЫЙ, НЕИЗОХОРНЫЙ процесс. На графике V-T, это линия, проходящая через \( (2V_0, T_0) \) и \( (3V_0, 3T_0) \). Наклон \( = \frac{3T_0-T_0}{3V_0-2V_0} = \frac{2T_0}{V_0} \). Уравнение прямой \( T - T_0 = \frac{2T_0}{V_0} (V - 2V_0) \). \( T = \frac{2T_0}{V_0}V - 4T_0 + T_0 \) → \( T = \frac{2T_0}{V_0}V - 3T_0 \). Из \( pV=nRT \), \( p = \frac{nRT}{V} = \frac{nR}{V}(\frac{2T_0}{V_0}V - 3T_0) = \frac{2nRT_0}{V_0} - \frac{3nRT_0}{V} \). Это сложная зависимость.

4 → 5: \( V \) падает от \( 3V_0 \) до \( V_0 \), \( T \) падает от \( 3T_0 \) до \( T_0 \), \( p \) постоянно \( 2p_0 \). Это ИЗОБАРНЫЙ процесс.

5 → 1: \( V \) постоянно \( V_0 \), \( T \) падает от \( T_0 \) до \( T_0/2 \), \( p \) падает от \( 2p_0 \) до \( p_0 \). Это ИЗОХОРНЫЙ процесс.

Заполнение таблиц:

Таблица 3.1: Описание процессов

Таблица 3.2: Параметры состояний

Графики цикла:

1. p-V график:

• 1 → 2: Горизонтальная линия \( p=p_0 \) от \( V_0 \) до \( 2V_0 \).
• 2 → 3: Вертикальная линия \( V=2V_0 \) от \( p=2p_0 \) до \( p=p_0 \).
• 3 → 4: Линия, соединяющая \( (2V_0, p_0) \) и \( (3V_0, 2p_0) \). Это прямая. Уравнение: \( p - p_0 = \frac{2p_0 - p_0}{3V_0 - 2V_0} (V - 2V_0) \) → \( p - p_0 = \frac{p_0}{V_0} (V - 2V_0) \) → \( p = \frac{p_0}{V_0}V - 2p_0 + p_0 \) → \( p = \frac{p_0}{V_0}V - p_0 \).
• 4 → 5: Горизонтальная линия \( p=2p_0 \) от \( 3V_0 \) до \( V_0 \).
• 5 → 1: Вертикальная линия \( V=V_0 \) от \( p=2p_0 \) до \( p=p_0 \).

2. p-T график:

• 1 → 2: Изобарный \( p=p_0 \). \( T \) растет от \( T_0/2 \) до \( 2T_0 \).
• 2 → 3: Изохорный \( V=2V_0 \). \( p \) падает от \( 2p_0 \) до \( p_0 \), \( T \) падает от \( 2T_0 \) до \( T_0 \).
• 3 → 4: \( V \) растет, \( T \) растет, \( p \) растет. \( p = \frac{p_0}{V_0}V - p_0 \). \( V = \frac{V_0}{p_0}(p+p_0) \). Подставим в \( pV=nRT \). \( p \frac{V_0}{p_0}(p+p_0) = nRT \) → \( \frac{V_0}{p_0}(p^2 + pp_0) = nRT \). Это нелинейная зависимость.
• 4 → 5: Изобарный \( p=2p_0 \). \( T \) падает от \( 3T_0 \) до \( T_0 \).
• 5 → 1: Изохорный \( V=V_0 \). \( p \) падает от \( 2p_0 \) до \( p_0 \), \( T \) падает от \( T_0 \) до \( T_0/2 \).

3. ρ-T график:

\( \rho = \frac{m}{V} \). \( pV=nRT \rightarrow V = \frac{nRT}{p} \). \( \rho = \frac{m}{\frac{nRT}{p}} = \frac{mp}{nRT} \).

1 → 2 (изобарный, \( p=p_0 \)): \( \rho = \frac{mp_0}{nRT} \). \( \rho \) обратно пропорционально \( T \). \( \rho_1 = \frac{mp_0}{n(T_0/2)} = \frac{2mp_0}{nT_0} \). \( \rho_2 = \frac{mp_0}{n(2T_0)} = \frac{mp_0}{2nT_0} \). \( \rho_1 = 2 \rho_0 \) (если \( m/n= \rho_0 T_0 / p_0 \)). \( \rho_2 = \rho_0/2 \). \( \rho \) убывает с ростом \( T \).

2 → 3 (изохорный, \( V=2V_0 \)): \( \rho = m/(2V_0) \) = const. \( \rho_2 = \rho_0/2 \), \( \rho_3 = \rho_0/2 \).

3 → 4 (нелинейный): \( \rho = \frac{mp}{nRT} \). \( p = \frac{p_0}{V_0}V - p_0 \), \( V = \frac{V_0}{p_0}(p+p_0) \). \( T = \frac{2T_0}{V_0}V - 3T_0 = \frac{2T_0}{V_0} \frac{V_0}{p_0}(p+p_0) - 3T_0 = \frac{2T_0}{p_0}(p+p_0) - 3T_0 \). \( \rho = \frac{mp}{nRT} = \frac{mp}{n (\frac{2T_0}{p_0}(p+p_0) - 3T_0)} \). Сложно.

4 → 5 (изобарный, \( p=2p_0 \)): \( \rho = \frac{m(2p_0)}{nRT} \). \( \rho \) обратно пропорционально \( T \). \( \rho_4 = m/(3V_0) = \rho_0/3 \). \( \rho_5 = m/V_0 = \rho_0 \). \( \rho \) растет с ростом \( T \) (обратная зависимость).

5 → 1 (изохорный, \( V=V_0 \)): \( \rho = m/V_0 \) = const. \( \rho_5 = \rho_0 \), \( \rho_1 = \rho_0 \).

Пересчет плотности:

1: \( V_0, T_0/2, p_0 \) → \( \rho_0 \) (по условию) \( \rho_1 = \rho_0 \)

2: \( 2V_0, 2T_0, 2p_0 \) → \( \rho_2 = m/(2V_0) = \rho_0/2 \)

3: \( 2V_0, T_0, p_0 \) → \( \rho_3 = m/(2V_0) = \rho_0/2 \)

4: \( 3V_0, 3T_0, 2p_0 \) → \( \rho_4 = m/(3V_0) = \rho_0/3 \)

5: \( V_0, T_0, 2p_0 \) → \( \rho_5 = m/V_0 = \rho_0 \)

Теперь построим ρ-T график:

• 1 → 2 (изобарный \( p=p_0 \)): \( \rho \) обратно пропорционально \( T \). \( \rho_1 = \rho_0 \) при \( T_1 = T_0/2 \). \( \rho_2 = \rho_0/2 \) при \( T_2 = 2T_0 \).
• 2 → 3 (изохорный \( V=2V_0 \)): \( \rho = \rho_0/2 \) (константа). \( T \) падает от \( 2T_0 \) до \( T_0 \).
• 3 → 4 (нелинейный): \( \rho_3 = \rho_0/2 \) при \( T_3 = T_0 \). \( \rho_4 = \rho_0/3 \) при \( T_4 = 3T_0 \).
• 4 → 5 (изобарный \( p=2p_0 \)): \( \rho \) обратно пропорционально \( T \). \( \rho_4 = \rho_0/3 \) при \( T_4 = 3T_0 \). \( \rho_5 = \rho_0 \) при \( T_5 = T_0 \).
• 5 → 1 (изохорный \( V=V_0 \)): \( \rho = \rho_0 \) (константа). \( T \) падает от \( T_0 \) до \( T_0/2 \).

Ответ: Заполненные таблицы и построенные графики представлены выше.