Г-8. Тема: «Теорема Пифагора. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника». Вопросы и задачи для повторения и закрепления. 1. Напишите формулы теоремы Пифагора, если а и в катеты, с – гипотенуза. 2. Назовите тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника и напишите все функции для угла М, прямоугольного треугольника МДС , прямым углом С. 3. Найдите катет прямоугольного треугольника, если известны гипотенуза и второй катет. а) 8 и 4; б) 6 и 3. 4. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если один из них в 2 раза больше другого, а гипотенуза равна 25 см. 5. Найдите площадь равнобедренного треугольника АВС, если его основание равно 24 см, а боковая сторона равна 15 см. 6. Найдите площадь и боковую сторону треугольника ВСД, если основание ВД равно 18 см, а высота СК равна 12см. 7. Найдите площадь прямоугольника, если диагональ, равная 10 см, образует со стороной угол, равный 30°. 8. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 7 см, высота, проведенная к основанию, равна 5 см, а угол при большем основании равен 60°. Найдите боковые стороны и большее основание трапеции.

1. Теорема Пифагора

Теорема Пифагора гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

где:

• a и b - катеты
• c - гипотенуза

2. Тригонометрические функции острого угла

Для прямоугольного треугольника МДС с прямым углом С:

• Синус угла M:

\[sin(M) = \frac{ДС}{МД}\]

• Косинус угла M:

\[cos(M) = \frac{МС}{МД}\]

• Тангенс угла M:

\[tg(M) = \frac{ДС}{МС}\]

• Котангенс угла M:

\[ctg(M) = \frac{МС}{ДС}\]

3. Нахождение катета прямоугольного треугольника

а) Гипотенуза = 8, второй катет = 4

Пусть c = 8 (гипотенуза), b = 4 (катет). Нужно найти катет а.

\[a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\]

б) Гипотенуза = 6, второй катет = 3

Пусть c = 6 (гипотенуза), b = 3 (катет). Нужно найти катет а.

\[a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\]

4. Катеты прямоугольного треугольника (один в 2 раза больше другого)

Пусть один катет x, тогда другой 2x, гипотенуза = 25 см.

\[x^2 + (2x)^2 = 25^2\] \[x^2 + 4x^2 = 625\] \[5x^2 = 625\] \[x^2 = 125\] \[x = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\]

Тогда катеты:

• x = 5√5 см
• 2x = 10√5 см

5. Площадь равнобедренного треугольника ABC

Основание = 24 см, боковая сторона = 15 см.

Высота, проведенная к основанию, делит его пополам. Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 15 и катетом 12.

Найдем высоту:

\[h = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\]

Площадь треугольника:

\[S = \frac{1}{2} * основание * высоту = \frac{1}{2} * 24 * 9 = 108\]

Площадь равна 108 см².

6. Площадь и боковая сторона треугольника ВСД

Основание ВД = 18 см, высота СК = 12 см.

Площадь треугольника:

\[S = \frac{1}{2} * ВД * СК = \frac{1}{2} * 18 * 12 = 108\]

Площадь равна 108 см².

Чтобы найти боковую сторону, нужно больше информации (например, является ли треугольник равнобедренным или прямоугольным).

7. Площадь прямоугольника

Диагональ = 10 см, угол между диагональю и стороной = 30°.

Пусть d = 10 (диагональ), угол между диагональю и стороной α = 30°.

Тогда стороны прямоугольника:

\[a = d * cos(α) = 10 * cos(30°) = 10 * \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\] \[b = d * sin(α) = 10 * sin(30°) = 10 * \frac{1}{2} = 5\]

Площадь прямоугольника:

\[S = a * b = 5\sqrt{3} * 5 = 25\sqrt{3}\]

8. Равнобедренная трапеция

Меньшее основание = 7 см, высота = 5 см, угол при большем основании = 60°.

Пусть меньшее основание b = 7 см, высота h = 5 см, угол при большем основании α = 60°.

Найдем отрезок, который отсекает высота от большего основания:

\[x = \frac{h}{tg(α)} = \frac{5}{tg(60°)} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\]

Тогда большее основание:

\[a = b + 2x = 7 + 2 * \frac{5\sqrt{3}}{3} = 7 + \frac{10\sqrt{3}}{3}\]

Боковая сторона:

\[c = \frac{h}{sin(α)} = \frac{5}{sin(60°)} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\]

Тогда большее основание: \(7 + \frac{10\sqrt{3}}{3}\) см, боковая сторона: \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\) см.