1 г) ctg \(\frac{\pi}{3}\) tg \((-\frac{\pi}{3})\) д) tg 720° + sin 540° - ctg 135°. 2. Упростите выражение tg² t \((-1 + \frac{1}{sin² t})\). 3. Решите уравнение: a) sin t = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\); б) sin \((\frac{\pi}{2} + t)\) = \(-\frac{1}{2}\). 4. Известно, что ctg \((\frac{\pi}{2} + t)\) = 2√6 и \(\frac{\pi}{2} < t < \pi\). Найдите: a) cos \((\frac{3\pi}{2} - t)\); б) cos(2x - t). 5. Расположите в порядке убывания следующие числа: a = sin 9,6; b = cos 9,5; c = sin 2,5; d = sin 1,5.

1. Вычислите:

1. г) ctg \(\frac{\pi}{3}\) tg \((-\frac{\pi}{3})\)

   Логика такая: ctg \(\frac{\pi}{3}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) tg \((-\frac{\pi}{3})\) = -tg \(\frac{\pi}{3}\) = -\(\sqrt{3}\) Тогда: \(\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -\frac{3}{3} = -1\) Ответ: -1

2. д) tg 720° + sin 540° - ctg 135°

   Логика такая: tg 720° = tg (2 \(\cdot\) 360°) = tg 0° = 0 sin 540° = sin (360° + 180°) = sin 180° = 0 ctg 135° = -1 Тогда: 0 + 0 - (-1) = 1 Ответ: 1

2. Упростите выражение: tg² t \((-1 + \frac{1}{sin² t})\)

Логика такая: tg² t \((-1 + \frac{1}{sin² t})\) = tg² t \((\frac{1}{sin² t} - 1)\) = \(\frac{sin² t}{cos² t} \cdot (\frac{1 - sin² t}{sin² t})\) = \(\frac{sin² t}{cos² t} \cdot \frac{cos² t}{sin² t}\) = 1 Ответ: 1

3. Решите уравнение:

1. a) sin t = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

   Логика такая: t = \(\frac{\pi}{3}\) + 2\(\pi\)k, k \(\in\) Z t = \(\frac{2\pi}{3}\) + 2\(\pi\)k, k \(\in\) Z Ответ: t = \(\frac{\pi}{3}\) + 2\(\pi\)k, t = \(\frac{2\pi}{3}\) + 2\(\pi\)k, k \(\in\) Z

2. б) sin \((\frac{\pi}{2} + t)\) = \(-\frac{1}{2}\)

   Логика такая: cos t = \(-\frac{1}{2}\) t = \(\pm\frac{2\pi}{3}\) + 2\(\pi\)k, k \(\in\) Z Ответ: t = \(\pm\frac{2\pi}{3}\) + 2\(\pi\)k, k \(\in\) Z

4. Известно, что ctg \((\frac{\pi}{2} + t)\) = 2√6 и \(\frac{\pi}{2} < t < \pi\). Найдите:

1. a) cos \((\frac{3\pi}{2} - t)\)

   Логика такая: ctg \((\frac{\pi}{2} + t)\) = -tg t = 2√6 tg t = -2√6 Так как \(\frac{\pi}{2} < t < \pi\), то sin t > 0, cos t < 0 \(sin t = \frac{tg t}{\sqrt{1 + tg² t}} = \frac{-2\sqrt{6}}{\sqrt{1 + (-2\sqrt{6})²}} = \frac{-2\sqrt{6}}{\sqrt{1 + 24}} = \frac{-2\sqrt{6}}{5}\) - некорректно, т.к. sin t > 0. Тогда: \(sin t = \frac{-tg t}{\sqrt{1 + tg² t}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}\) \(cos t = \frac{1}{\sqrt{1 + tg² t}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (-2\sqrt{6})²}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 24}} = \frac{1}{5}\) - некорректно, т.к. cos t < 0. Тогда: \(cos t = -\frac{1}{\sqrt{1 + tg² t}} = -\frac{1}{5}\) cos \((\frac{3\pi}{2} - t)\) = -sin t = -\(\frac{2\sqrt{6}}{5}\) Ответ: -\(\frac{2\sqrt{6}}{5}\)

2. б) cos(2x - t)

   Ошибка в условии! Должно быть: cos(2t - \(\pi\)) cos(2t - \(\pi\)) = -cos 2t = -(2cos² t - 1) = 1 - 2cos² t = 1 - 2 \(\cdot\) \((\frac{-1}{5})²\) = 1 - \(\frac{2}{25}\) = \(\frac{23}{25}\) Ответ: \(\frac{23}{25}\)

5. Расположите в порядке убывания следующие числа: a = sin 9,6; b = cos 9,5; c = sin 2,5; d = sin 1,5.

Логика такая: a = sin 9,6 = sin (9,6 - 3\(\pi\)) ≈ sin 0,17 ≈ 0,17 b = cos 9,5 = cos (9,5 - 3\(\pi\)) ≈ cos 0,07 ≈ 1 c = sin 2,5 ≈ sin (2,5 - \(\frac{\pi}{2}\)) ≈ sin 0,93 ≈ 0,8 d = sin 1,5 ≈ sin (1,5 - \(\frac{\pi}{2}\)) ≈ sin -0,07 ≈ 0,99 Тогда, в порядке убывания: b > d > c > a Ответ: b > d > c > a