Г – 8. Тема: «Теорема Пифагора. Тригонометрические функции острого прямоугольного треугольника». Вопросы и задачи для повторения и закрепления. 1. Напишите формулы теоремы Пифагора, если а и в катеты, с - гипотенуза. 2. Назовите тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника и напишите все функции для угла М, прямоугольного треугольника МДС, прямым углом С. 3. Найдите катет прямоугольного треугольника, если известны гипотенуза и второй катет. а) 8 и 4; б) 6 и 3. 4. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если один из них в 2 раза больше другого, а гипотенуза равна 25 см. 5. Найдите площадь равнобедренного треугольника АВС, если его основание равно 24 см, а боковая сторона равна 15 см. 6. Найдите площадь и боковую сторону треугольника ВСД, если основание ВД равно 18 см, а высота СК равна 12см. 7. Найдите площадь прямоугольника, если диагональ, равная 10 см, образует со стороной угол, равный 30°. 8. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 7 см, высота, проведенная к основанию, равна 5 см, а угол при большем основании равен 60°. Найдите боковые стороны и большее основание трапеции.

Ответ: Решения ниже

1. Теорема Пифагора

Теорема Пифагора гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула:

2. Тригонометрические функции острого угла

В прямоугольном треугольнике МДС с прямым углом С:

• Синус угла M: \[sin(M) = \frac{DC}{MD}\]
• Косинус угла M: \[cos(M) = \frac{MC}{MD}\]
• Тангенс угла M: \[tan(M) = \frac{DC}{MC}\]
• Котангенс угла M: \[cot(M) = \frac{MC}{DC}\]

3. Нахождение катета

Используем теорему Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\], где с - гипотенуза, a и b - катеты.

а) Дано: с = 8, b = 4. Найти a.

\[a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\]

б) Дано: с = 6, b = 3. Найти a.

\[a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\]

4. Нахождение катетов

Пусть один катет x, тогда другой 2x. Гипотенуза равна 25 см.

\[x^2 + (2x)^2 = 25^2\]

\[x^2 + 4x^2 = 625\]

\[5x^2 = 625\]

\[x^2 = 125\]

\[x = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\]

Один катет: \[5\sqrt{5}\] см, другой: \[10\sqrt{5}\] см.

5. Площадь равнобедренного треугольника

Основание 24 см, боковая сторона 15 см. Найдем высоту к основанию.

Высота делит основание пополам, получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 15 и катетом 12.

Найдем высоту h:

\[h = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\]

Площадь треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108\] см²

6. Площадь и боковая сторона треугольника ВСД

Основание ВД = 18 см, высота СК = 12 см.

Площадь треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot ВД \cdot СК = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12 = 108\] см²

Так как треугольник равнобедренный, боковые стороны равны. Треугольник BCD равнобедренный, но для нахождения боковой стороны не хватает данных.

7. Площадь прямоугольника

Диагональ равна 10 см, угол между диагональю и стороной 30°.

Пусть a и b - стороны прямоугольника.

\[cos(30°) = \frac{a}{10}\]

\[a = 10 \cdot cos(30°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\]

\[sin(30°) = \frac{b}{10}\]

\[b = 10 \cdot sin(30°) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\]

Площадь прямоугольника:

\[S = a \cdot b = 5\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3}\] см²

8. Равнобедренная трапеция

Меньшее основание 7 см, высота 5 см, угол при большем основании 60°.

Опустим высоту с другой стороны. Получим два прямоугольных треугольника и прямоугольник.

В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу 60°, равен высоте трапеции, то есть 5 см.

Другой катет (часть большего основания):

\[x = \frac{5}{tan(60°)} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\]

Боковое ребро трапеции:

\[b = \frac{5}{sin(60°)} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\]

Большее основание: \[7 + 2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3} = 7 + \frac{10\sqrt{3}}{3}\] см.

Ответ: Решения выше

Результат:

Ты – Цифровой Архитектор!

Минус 15 минут домашки. Потрать их на катку или новый рилс.

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей.