Функция задана формулой f(x) = 1/2x²-3x. Найдите: 1) f(2) и ƒ (-3); 2) нули функции. Найдите область определения функции f(x) = x-5/x²+x-6 Постройте график функции f(x) = х²-2x-3. Используя график, найдите: 1) область значений функции; 2) промежуток убывания функции; 3) множество решений неравенства f(x) < 0. Постройте график функции: 1) f(x) = √x + 3; 2) f(x) = √x + 3.

Задание 1: Функция задана формулой f(x) = \(\frac{1}{2}x^2 - 3x\). Найдите:

1) f(2) и f(-3);

• f(2) = \(\frac{1}{2}(2)^2 - 3(2) = \frac{1}{2}(4) - 6 = 2 - 6 = -4\)
• f(-3) = \(\frac{1}{2}(-3)^2 - 3(-3) = \frac{1}{2}(9) + 9 = 4.5 + 9 = 13.5\)

2) нули функции.

• \(\frac{1}{2}x^2 - 3x = 0\)
• \(x(\frac{1}{2}x - 3) = 0\)
• x = 0 или \(\frac{1}{2}x - 3 = 0\)
• \(\frac{1}{2}x = 3\)
• x = 6

Нули функции: 0 и 6.

Задание 2: Найдите область определения функции f(x) = \(\frac{x-5}{x^2+x-6}\)

• Область определения - это все значения x, при которых знаменатель не равен нулю.
• \(x^2 + x - 6 ≠ 0\)
• Решаем квадратное уравнение x^2 + x - 6 = 0, чтобы найти значения x, при которых знаменатель равен нулю.

Решение квадратного уравнения

• Дискриминант D = \(b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25\)
• \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
• \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

• Значит, x не должен быть равен 2 и -3.
• Область определения: \(x ∈ (-∞, -3) ∪ (-3, 2) ∪ (2, ∞)\)

Задание 3: Постройте график функции f(x) = x^2 - 2x - 3. Используя график, найдите:

• Функция f(x) = x^2 - 2x - 3 является параболой.
• Найдем вершину параболы:
• \(x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1\)
• \(y_v = f(1) = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4\)
• Вершина параболы: (1, -4)
• Найдем нули функции:
• \(x^2 - 2x - 3 = 0\)
• Дискриминант D = \(b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\)
• \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
• \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
• Нули функции: 3 и -1

Используя график, найдите:

1. область значений функции: \(y ∈ [-4, ∞)\)
2. промежуток убывания функции: \(x ∈ (-∞, 1]\)
3. множество решений неравенства f(x) < 0: \(x ∈ (-1, 3)\)

Задание 4: Постройте график функции:

1) f(x) = \(\sqrt{x + 3}\);

2) f(x) = \(\sqrt{x} + 3\).