Функция y = f(x) задана параметрически: \( x(t) = 8t^2 - 7 + e^2 \) \( y(t) = 3t^3 + 4t^2 - e \) Найдите значение производной функции y'/x в точке t₀ = 1. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для нахождения производной функции \( y \) по \( x \) используем формулу:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \]

Сначала найдём производные \( x(t) \) и \( y(t) \) по \( t \):

• \( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(8t^2 - 7 + e^2) = 16t \)
• \( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^3 + 4t^2 - e) = 9t^2 + 8t \)

Теперь подставим эти производные в формулу для \( \frac{dy}{dx} \):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{9t^2 + 8t}{16t} \]

Упростим выражение, сократив \( t \) (при \( t \) ≠ 0):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{9t + 8}{16} \]

Теперь найдём значение производной в точке \( t_0 = 1 \):

\[ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{t=1} = \frac{9(1) + 8}{16} = \frac{9 + 8}{16} = \frac{17}{16} \]

Округлим результат до сотых:

\[ \frac{17}{16} \approx 1.0625 \]

Округлённое значение: 1.06

Ответ: 1.06