Ф.И. Вариант 1. Задания №1-№4 - упростить выражение; задания №5-№6 вычислить. 1. sin(+3) + sin(-) 2. cos(-)-cos(+) 3. sin²(a+)-sin²(a-) 3 4. cos² (B-)-cos²( 2 COS β cos15° + cos75° 5. sin75° - sin15° 6.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Краткое пояснение: Решим тригонометрические выражения, используя формулы приведения и тригонометрические тождества.

Используем формулу синуса суммы и разности: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) и sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

sin(π/4 + β) + sin(π/4 - β) = sin(π/4)cos(β) + cos(π/4)sin(β) + sin(π/4)cos(β) - cos(π/4)sin(β) = 2sin(π/4)cos(β)

Так как sin(π/4) = √2/2, то 2sin(π/4)cos(β) = 2(√2/2)cos(β) = √2cos(β)

Ответ: √2cos(β)

Используем формулу косинуса суммы и разности: cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) и cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

cos(π/3 - γ) - cos(π/3 + γ) = cos(π/3)cos(γ) + sin(π/3)sin(γ) - (cos(π/3)cos(γ) - sin(π/3)sin(γ)) = 2sin(π/3)sin(γ)

Так как sin(π/3) = √3/2, то 2sin(π/3)sin(γ) = 2(√3/2)sin(γ) = √3sin(γ)

Ответ: √3sin(γ)

Используем формулу разности квадратов: a² - b² = (a + b)(a - b)

sin²(α + π/6) - sin²(α - π/6) = (sin(α + π/6) + sin(α - π/6))(sin(α + π/6) - sin(α - π/6))

Используем формулы синуса суммы и разности: sin(α + π/6) = sin(α)cos(π/6) + cos(α)sin(π/6) и sin(α - π/6) = sin(α)cos(π/6) - cos(α)sin(π/6)

(sin(α + π/6) + sin(α - π/6))(sin(α + π/6) - sin(α - π/6)) = (2sin(α)cos(π/6))(2cos(α)sin(π/6)) = 4sin(α)cos(α)sin(π/6)cos(π/6)

Так как sin(π/6) = 1/2 и cos(π/6) = √3/2, то 4sin(α)cos(α)sin(π/6)cos(π/6) = 4sin(α)cos(α)(1/2)(√3/2) = √3sin(α)cos(α)

Используем формулу двойного угла: sin(2α) = 2sin(α)cos(α), тогда √3sin(α)cos(α) = (√3/2)sin(2α)

Ответ: (√3/2)sin(2α)

Используем формулу разности квадратов: a² - b² = (a + b)(a - b)

cos²(β - π/4) - cos²(β + π/4) = (cos(β - π/4) + cos(β + π/4))(cos(β - π/4) - cos(β + π/4))

Используем формулы косинуса суммы и разности: cos(β - π/4) = cos(β)cos(π/4) + sin(β)sin(π/4) и cos(β + π/4) = cos(β)cos(π/4) - sin(β)sin(π/4)

(cos(β - π/4) + cos(β + π/4))(cos(β - π/4) - cos(β + π/4)) = (2cos(β)cos(π/4))(2sin(β)sin(π/4)) = 4cos(β)sin(β)cos(π/4)sin(π/4)

Так как sin(π/4) = √2/2 и cos(π/4) = √2/2, то 4cos(β)sin(β)cos(π/4)sin(π/4) = 4cos(β)sin(β)(√2/2)(√2/2) = 2cos(β)sin(β)

Используем формулу двойного угла: sin(2β) = 2sin(β)cos(β), тогда 2cos(β)sin(β) = sin(2β)

Ответ: sin(2β)

Представим cos75° как cos(45° + 30°) и cos15° как cos(45° - 30°)

cos15° + cos75° = cos(45° - 30°) + cos(45° + 30°)

Используем формулы косинуса суммы и разности: cos(45° - 30°) = cos45°cos30° + sin45°sin30° и cos(45° + 30°) = cos45°cos30° - sin45°sin30°

cos(45° - 30°) + cos(45° + 30°) = cos45°cos30° + sin45°sin30° + cos45°cos30° - sin45°sin30° = 2cos45°cos30°

Так как cos45° = √2/2 и cos30° = √3/2, то 2cos45°cos30° = 2(√2/2)(√3/2) = √6/2

Ответ: √6/2

Представим sin75° как sin(45° + 30°) и sin15° как sin(45° - 30°)

sin75° - sin15° = sin(45° + 30°) - sin(45° - 30°)

Используем формулы синуса суммы и разности: sin(45° + 30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30° и sin(45° - 30°) = sin45°cos30° - cos45°sin30°

sin(45° + 30°) - sin(45° - 30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30° - (sin45°cos30° - cos45°sin30°) = 2cos45°sin30°

Так как cos45° = √2/2 и sin30° = 1/2, то 2cos45°sin30° = 2(√2/2)(1/2) = √2/2

Ответ: √2/2