Фамилия Имя Вариант 2 1) Дан треугольник АВС с прямым углом С. Известно, что АС=8, СВ-15. Вычислит синус, косинус и тангенс для углов А и В. Чертеж: Дано: Д АВС-пр 2C=90° AC = 8 CB=15 8 C 15 Ответ: 2) Вычислите: a) sina, если cosa= 5-9 1 6) tga, если sina= 3 Найти: B Решение:

1) Вычислим гипотенузу AB:

По теореме Пифагора:

\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\]

2) Вычислим синус, косинус и тангенс угла A:

• \(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{15}{17} \)
• \(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{17} \)
• \(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{15}{8} \)

3) Вычислим синус, косинус и тангенс угла B:

• \(\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{17} \)
• \(\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{15}{17} \)
• \(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{15} \)

Ответ:

• \(\sin A = \frac{15}{17}, \cos A = \frac{8}{17}, \tan A = \frac{15}{8} \)
• \(\sin B = \frac{8}{17}, \cos B = \frac{15}{17}, \tan B = \frac{8}{15} \)

2) Вычислите:

а) \(\sin \alpha\), если \(\cos \alpha = \frac{5}{9}\)

Основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

Выразим \(\sin \alpha\):

\[\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}\]

Подставим значение \(\cos \alpha\):

\[\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{5}{9})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{81}} = \sqrt{\frac{81 - 25}{81}} = \sqrt{\frac{56}{81}} = \frac{\sqrt{56}}{9} = \frac{2\sqrt{14}}{9}\]

Ответ: \(\sin \alpha = \frac{2\sqrt{14}}{9}\)

б) \(\tan \alpha\), если \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\)

Найдем \(\cos \alpha\) используя основное тригонометрическое тождество:

\[\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9 - 1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\]

Теперь найдем \(\tan \alpha\):

\[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\]

Ответ: \(\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}\)