F. Кузнечик и числа Коллатца (8 баллов). Один кузнечик по имени Кузя, большой любитель математики, решил исследовать последовательность Коллатца. Возьмём натуральное число n: если оно чётное, разделим его пополам, а если нечётное, утроим и прибавим единицу. Повторим действие для полученного числа. Сегодня у Кузи число 17. Последовательность: 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Кузя стоит в точке 0 на бесконечной числовой прямой. Он смотрит на верхнее число стопки и прыгает на столько позиций: если число нечётное — вправо, если чётное — влево. Прыжки нумеруются с единицы. После прыжка он перекладывает верхний листок вниз стопки, затем смотрит на новое верхнее число. Процесс продолжается, пока Кузя не окажется в какой-либо точке прямой дважды. После первого прыжка Кузя окажется в точке 17, после второго — в точке −35. Определите, в какой точке остановится Кузя.

Нечётное число задаёт прыжок вправо, чётное — влево. Поэтому к текущей координате прибавляем нечётные числа и вычитаем чётные.

Последовательно получаем:

1. 17 нечётное: \(0+17=17\).
2. 52 чётное: \(17-52=-35\).
3. 26 чётное: \(-35-26=-61\).
4. 13 нечётное: \(-61+13=-48\).
5. 40 чётное: \(-48-40=-88\).
6. 20 чётное: \(-88-20=-108\).
7. 10 чётное: \(-108-10=-118\).
8. 5 нечётное: \(-118+5=-113\).
9. 16 чётное: \(-113-16=-129\).
10. 8 чётное: \(-129-8=-137\).
11. 4 чётное: \(-137-4=-141\).
12. 2 чётное: \(-141-2=-143\).
13. 1 нечётное: \(-143+1=-142\).

За эти 13 прыжков все числа стопки использованы по одному разу, и Кузя оказывается в точке −142. Поскольку стопка циклически начинается снова с 17, следующие прыжки повторяют те же смещения, но уже от новой координаты. Точка −142 — это первая повторно посещённая точка: ранее Кузя был в ней после первого полного обхода чисел? Нет: начальная точка — 0, а после первого обхода он находится в −142; при следующем полном обходе суммарное смещение снова −142, поэтому −142 не повторится. Проверим повторение: за первый обход посещённые координаты: 0, 17, −35, −61, −48, −88, −108, −118, −113, −129, −137, −141, −143, −142. После этого второй обход начинается с −142, и после прыжка 17 будет −125; повтор точки наступит, когда новая координата совпадёт с одной из ранее посещённых. Смещение за цикл равно −142; среди промежуточных координат первого цикла нет пары, отличающейся на 142, кроме 0 и −142. Следовательно, точка −142 повторяется в конце второго полного обхода? Она посещена в конце первого, а начальная точка 0 отличается от неё. Смещения цикла постоянны, поэтому во втором обходе координаты первого обхода сдвинуты на −142; в конце второго обхода получаем −284. Повторного посещения нет, и далее координаты каждого обхода сдвигаются ещё на −142. Следовательно, при данной последовательности Кузя не остановится.