Evaluate the integral: \(\int_{0}^{\pi} \cos(7x)\sin(x)dx\)

Решение:

Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса:

\( \cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) - \sin(A-B)] \)

В нашем случае \( A = 7x \) и \( B = x \). Применяем формулу:

\[ \cos(7x)\sin(x) = \frac{1}{2} [\sin(7x+x) - \sin(7x-x)] = \frac{1}{2} [\sin(8x) - \sin(6x)] \]

Теперь проинтегрируем полученное выражение:

\[ \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} [\sin(8x) - \sin(6x)] dx \]

Вынесем константу \( \frac{1}{2} \) за знак интеграла:

\[ \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} [\sin(8x) - \sin(6x)] dx \]

Проинтегрируем по отдельности:

\[ \int \sin(8x) dx = -\frac{1}{8}\cos(8x) \]

и

\[ \int \sin(6x) dx = -\frac{1}{6}\cos(6x) \]

Подставляем обратно:

\[ \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{8}\cos(8x) - \left(-\frac{1}{6}\cos(6x)\right) \right]_{0}^{\pi} \]

Упрощаем:

\[ \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{8}\cos(8x) + \frac{1}{6}\cos(6x) \right]_{0}^{\pi} \]

Теперь подставим пределы интегрирования (\( \pi \) и \( 0 \)):

\[ \frac{1}{2} \left( \left(-\frac{1}{8}\cos(8\pi) + \frac{1}{6}\cos(6\pi)\right) - \left(-\frac{1}{8}\cos(0) + \frac{1}{6}\cos(0)\right) \right) \]

Так как \( \cos(8\pi) = 1 \), \( \cos(6\pi) = 1 \), \( \cos(0) = 1 \), получаем:

\[ \frac{1}{2} \left( \left(-\frac{1}{8} \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot 1\right) - \left(-\frac{1}{8} \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot 1\right) \right) \]

Упрощаем:

\[ \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{8} + \frac{1}{6} - \left(-\frac{1}{8} + \frac{1}{6}\right) \right) \]

Выражения в скобках равны, поэтому:

\[ \frac{1}{2} (0) = 0 \]

Ответ: 0