Evaluate the following series: a) \(\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} + \frac{1}{72} + \frac{1}{90}\).

Решение:

Данный ряд является суммой дробей вида \(\frac{1}{n(n+1)}\). Преобразуем каждую дробь:

1. \(\frac{1}{6} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\)
2. \(\frac{1}{12} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\)
3. \(\frac{1}{20} = \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}\)
4. \(\frac{1}{30} = \frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}\)
5. \(\frac{1}{42} = \frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7}\)
6. \(\frac{1}{56} = \frac{1}{7 \cdot 8} = \frac{1}{7} - \frac{1}{8}\)
7. \(\frac{1}{72} = \frac{1}{8 \cdot 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9}\)
8. \(\frac{1}{90} = \frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}\)

Теперь сложим все эти разности. Это телескопическая сумма:

\( \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right) \)

Все промежуточные члены сокращаются, остается:

\( \frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{5}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)

Ответ: \(\frac{2}{5}\).