Если x² + y² = 25, найдите dy/dx в точке (4, 3)

Решение:

Для нахождения \(\frac{dy}{dx}\) неявной функции \(x^2 + y^2 = 25\) продифференцируем обе части уравнения по \(x\), считая \(y\) функцией от \(x\).

1. Продифференцируем \(x^2\): \( \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \).
2. Продифференцируем \(y^2\): \( \frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx} \) (по правилу дифференцирования сложной функции).
3. Продифференцируем константу 25: \( \frac{d}{dx}(25) = 0 \).
4. Подставим полученные выражения в уравнение: \( 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \).
5. Выразим \(\frac{dy}{dx}\): \( 2y \frac{dy}{dx} = -2x \) \( \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y} \).
6. Теперь подставим координаты точки \((4, 3)\) в полученное выражение для \(\frac{dy}{dx}\): \( \frac{dy}{dx} = -\frac{4}{3} \).

Значение \(-\frac{4}{3}\) приблизительно равно \(-1.3333\).

Ответ: -1.3333