Если векторы $$\vec{a}(2k+1; -2; -1)$$ и $$\vec{b}(3; k+3; 5)$$ перпендикулярны, то длина вектора $$\vec{a} - \vec{b}$$ равна

Решение:

Два вектора являются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ находится по формуле: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$.

В нашем случае:

\[ (2k+1) \cdot 3 + (-2) \cdot (k+3) + (-1) \cdot 5 = 0 \]\[ 6k + 3 - 2k - 6 - 5 = 0 \]\[ 4k - 8 = 0 \]\[ 4k = 8 \]\[ k = 2 \]

Теперь найдём координаты вектора $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ при $$k=2$$.

$$\vec{a} = (2 \cdot 2 + 1; -2; -1) = (5; -2; -1)$$

$$\vec{b} = (3; 2+3; 5) = (3; 5; 5)$$

Вектор разности $$\vec{a} - \vec{b}$$:

\[ \vec{a} - \vec{b} = (5-3; -2-5; -1-5) = (2; -7; -6) \]

Длина вектора $$\vec{a} - \vec{b}$$ находится по формуле: $$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$$.

\[ |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-7)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 49 + 36} = \sqrt{87} \]

Ответ: $$\sqrt{87}$$