Если tg(α + π/4) = -1/3, то cos2α равен

Решение:

Воспользуемся формулой тангенса суммы:

\( \text{tg}(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\frac{\pi}{4}}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\frac{\pi}{4}} \)

Так как \( \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 \), получаем:

\( \frac{\text{tg}\alpha + 1}{1 - \text{tg}\alpha} = -\frac{1}{3} \)

Раскроем скобки и решим уравнение относительно \( \text{tg}\alpha \):

\( 3(\text{tg}\alpha + 1) = -(1 - \text{tg}\alpha) \)

\( 3\text{tg}\alpha + 3 = -1 + \text{tg}\alpha \)

\( 2\text{tg}\alpha = -4 \)

\( \text{tg}\alpha = -2 \)

Теперь найдём \( \cos(2\alpha) \) используя формулу:

\( \cos(2\alpha) = \frac{1 - \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{tg}^2\alpha} \)

Подставим значение \( \text{tg}\alpha = -2 \):

\[ \cos(2\alpha) = \frac{1 - (-2)^2}{1 + (-2)^2} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = \frac{-3}{5} = -0.6 \]

Ответ: -0,6