Если h(x) = \(\frac{3x^3}{x + 1}\), найдите h'(3)

Решение:

Для нахождения производной функции \( h(x) = \frac{3x^3}{x + 1} \) используем правило дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Здесь \( u = 3x^3 \) и \( v = x + 1 \).

Найдём производные \( u \) и \( v \):

• \( u' = \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2 \)
• \( v' = \frac{d}{dx}(x + 1) = 1 \)

Теперь подставим эти значения в формулу производной частного:

\[ h'(x) = \frac{(9x^2)(x + 1) - (3x^3)(1)}{(x + 1)^2} \]

Упростим числитель:

\[ h'(x) = \frac{9x^3 + 9x^2 - 3x^3}{(x + 1)^2} \]

\[ h'(x) = \frac{6x^3 + 9x^2}{(x + 1)^2} \]

Теперь найдём значение производной при \( x = 3 \):

\[ h'(3) = \frac{6(3)^3 + 9(3)^2}{(3 + 1)^2} \]

\[ h'(3) = \frac{6(27) + 9(9)}{4^2} \]

\[ h'(3) = \frac{162 + 81}{16} \]

\[ h'(3) = \frac{243}{16} \]

Ответ: \( \frac{243}{16} \).