Если h(x) = 3x^3 / (x+1), найдите h'(3)

Решение:

Для нахождения производной функции \( h(x) = \frac{3x^3}{x+1} \) будем использовать правило дифференцирования частного:

\( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)

В данном случае \( u = 3x^3 \) и \( v = x+1 \).

Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

• \( u' = \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2 \)
• \( v' = \frac{d}{dx}(x+1) = 1 \)

Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:

\[ h'(x) = \frac{(9x^2)(x+1) - (3x^3)(1)}{(x+1)^2} \]

Упростим выражение:

\[ h'(x) = \frac{9x^3 + 9x^2 - 3x^3}{(x+1)^2} = \frac{6x^3 + 9x^2}{(x+1)^2} \]

Теперь найдем значение \( h'(3) \), подставив \( x=3 \) в полученное выражение:

\[ h'(3) = \frac{6(3)^3 + 9(3)^2}{(3+1)^2} = \frac{6(27) + 9(9)}{4^2} = \frac{162 + 81}{16} = \frac{243}{16} \]

Ответ: \( \frac{243}{16} \)