Если cos(θ) = 8/17 и θ в Q4, найдите csc(θ)

Решение:

Для нахождения \( \csc(\theta) \) воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \).

1. Подставим известное значение \( \cos(\theta) = \frac{8}{17} \) в тождество:

\[ \sin^2(\theta) + \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 \]

2. Вычислим квадрат косинуса:

\[ \sin^2(\theta) + \frac{64}{289} = 1 \]

3. Выразим \( \sin^2(\theta) \):

\[ \sin^2(\theta) = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289} \]

4. Найдем \( \sin(\theta) \), извлекая квадратный корень:

\[ \sin(\theta) = \pm \sqrt{\frac{225}{289}} = \pm \frac{15}{17} \]

5. Учитывая, что угол \( \theta \) находится в IV четверти (Q4), синус отрицателен. Следовательно, \( \sin(\theta) = -\frac{15}{17} \).
6. Теперь найдем \( \csc(\theta) \), используя определение: \( \csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} \).

\[ \csc(\theta) = \frac{1}{-\frac{15}{17}} = -\frac{17}{15} \]

Ответ: \( -\frac{17}{15} \).