Если cos(θ) = 5/13 и θ в Q1, найдите csc(θ).

Решение:

Нам дано, что \( \cos(\theta) = \frac{5}{13} \) и угол \( \theta \) находится в первой четверти (Q1). В первой четверти все тригонометрические функции положительны.

Мы знаем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \).

Подставим известное значение \( \cos(\theta) \):

\[ \sin^2(\theta) + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 \]\[ \sin^2(\theta) + \frac{25}{169} = 1 \]\[ \sin^2(\theta) = 1 - \frac{25}{169} \]\[ \sin^2(\theta) = \frac{169 - 25}{169} \]\[ \sin^2(\theta) = \frac{144}{169} \]

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\[ \sin(\theta) = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} \]\[ \sin(\theta) = \pm \frac{12}{13} \]

Поскольку \( \theta \) находится в первой четверти (Q1), \( \sin(\theta) \) положителен:

\[ \sin(\theta) = \frac{12}{13} \]

Теперь найдём \( \csc(\theta) \), которое определяется как \( \frac{1}{\sin(\theta)} \):

\[ \csc(\theta) = \frac{1}{\frac{12}{13}} \]\[ \csc(\theta) = \frac{13}{12} \]

Ответ: \( \csc(\theta) = \frac{13}{12} \).