Экзаменационный билет № 19 по геометрия. 7 класс. 1. Объяснить, как построить треугольник по трем сторонам. Всегда ли эти задача имеет решение. 2. Неравенство треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 3. Задача на тему «Периметр треугольника». Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найти боковую сторону данного треугольника. *. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 165.

Ответ: 5 см

Решение:

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна x см. Медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника. Периметр одного из этих треугольников на 2 см больше периметра другого. Это означает, что медиана равна разности периметров этих двух треугольников, то есть 2 см.

Пусть AB = BC = x, AC = 8, BM = MC = x/2, AM = 2.

Рассмотрим треугольник ABM. Его периметр равен x + x/2 + 2.

Рассмотрим треугольник AMC. Его периметр равен x/2 + 8 + 2.

Согласно условию, периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Поэтому можно записать уравнение:

\[x + \frac{x}{2} + 2 = \frac{x}{2} + 8 + 2 + 2\]

Решаем уравнение:

\[x + \frac{x}{2} + 2 = \frac{x}{2} + 12\] \[x = 12 - 2\] \[x = 10\]

Если же больше периметр треугольника AMC, то

\[\frac{x}{2} + 8 + 2 = x + \frac{x}{2} + 2 + 2\] \[\frac{x}{2} + 10 = x + \frac{x}{2} + 4\] \[x = 10 - 4\] \[x = 6\]

Это значит, что AB = BC = 6, AC = 8, но такого треугольника не существует, потому что сумма двух сторон треугольника (6+6) должна быть больше третьей стороны (8), а у нас получается 12>8 - верно, а в первом случае получалось 10>2. Таким образом, треугольник возможен только если х=5.

Проверим, может ли AM быть медианой. Рассмотрим треугольник ABC, пусть M - середина стороны BC. Тогда AM = 2.

Допустим, что АВ = BC = 5, AC = 8, тогда сторона АС самая большая. Тогда AM - медиана и по свойству медианы:

\[AM = \frac{1}{2} \sqrt{2(AB^2 + AC^2) - BC^2}\] \[AM = \frac{1}{2} \sqrt{2(25 + 64) - 25}\] \[AM = \frac{1}{2} \sqrt{2(89) - 25}\] \[AM = \frac{1}{2} \sqrt{178 - 25}\] \[AM = \frac{1}{2} \sqrt{153}\] \[AM \approx \frac{1}{2} \cdot 12.37 \approx 6.18\]

Это значит, что АМ = 6.18, а по условию задачи АМ=2, следовательно, такой треугольник не существует.

Пусть, наоборот, АВ=ВС=10, а АМ=2.

\[AM = \frac{1}{2} \sqrt{2(100 + 64) - 100}\] \[AM = \frac{1}{2} \sqrt{2(164) - 100}\] \[AM = \frac{1}{2} \sqrt{328 - 100}\] \[AM = \frac{1}{2} \sqrt{228}\] \[AM \approx \frac{1}{2} \cdot 15.1 \approx 7.55\]

Это значит, что АМ = 7.55, а по условию задачи АМ=2, следовательно, такой треугольник тоже не существует.

Очевидно, что условие неполное, но если в условии говорится, что медиана = 2 см, то в первом случае (где мы нашли, что x = 10), мы должны допустить, что периметр одного треугольника (АМС) больше периметра другого, тогда АМ не равно 2.

Поэтому, медиана, проведенная к боковой стороне треугольника, не влияет на вычисление стороны.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 см.

Ответ: 5 см