Экзамен состоял из 37 тестовых вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 8 баллов, за неправильный ответ с него списывали 13 баллов, а при отсутствии ответа давали 0 баллов. Сколько раз ученик дал неправильный ответ, если он набрал 56 баллов, а также известно, что правильно он ответил более, чем на треть от общего количества вопросов?

Решение:

Обозначим:

• \(x\) — количество правильных ответов.
• \(y\) — количество неправильных ответов.
• \(z\) — количество отсутствующих ответов.

Всего вопросов: \(x + y + z = 37\).

Набранные баллы: \(8x - 13y + 0z = 56\), что упрощается до \(8x - 13y = 56\).

Известно, что правильных ответов было больше, чем треть от общего количества: \(x > \frac{37}{3} \approx 12.33\). Значит, \(x \ge 13\).

Рассмотрим уравнение \(8x - 13y = 56\). Мы можем выразить \(x\) через \(y\) или \(y\) через \(x\).

Из \(8x = 56 + 13y\) следует, что \(56 + 13y\) должно делиться на 8. Проверим значения \(y\) начиная с 0:

• Если \(y = 0\), \(8x = 56 \rightarrow x = 7\). Это не подходит, так как \(x \ge 13\).
• Если \(y = 1\), \(8x = 56 + 13 = 69\). Не делится на 8.
• Если \(y = 2\), \(8x = 56 + 26 = 82\). Не делится на 8.
• Если \(y = 3\), \(8x = 56 + 39 = 95\). Не делится на 8.
• Если \(y = 4\), \(8x = 56 + 52 = 108\). Не делится на 8.
• Если \(y = 5\), \(8x = 56 + 65 = 121\). Не делится на 8.
• Если \(y = 6\), \(8x = 56 + 78 = 134\). Не делится на 8.
• Если \(y = 7\), \(8x = 56 + 91 = 147\). Не делится на 8.
• Если \(y = 8\), \(8x = 56 + 104 = 160 \rightarrow x = 20\).

В этом случае \(x = 20\) и \(y = 8\). Проверим условие \(x \ge 13\): \(20 \ge 13\) — верно.

Теперь найдём \(z\): \(z = 37 - x - y = 37 - 20 - 8 = 9\).

Проверим набранные баллы: \(8 \cdot 20 - 13 \cdot 8 = 160 - 104 = 56\). Верно.

Проверим условие \(x > \frac{37}{3}\): \(20 > \frac{37}{3} \approx 12.33\) — верно.

Таким образом, ученик дал 8 неправильных ответов.

Ответ: 8.