9. Экспресс-поезд проходит расстояние 400 km на 1 час быстрее, чем грузовой поезд. Найдите скорость экспресс-поезда, если известно, что скорость экспресс-поезда на 20 km/h больше скорости грузового поезда. ( 180² = 32400) 60 km/h 120 km/h 80 km/h

Ответ: 100 км/ч

Обозначим скорость грузового поезда за x км/ч, тогда скорость экспресс-поезда будет x + 20 км/ч.

Время, которое тратит грузовой поезд на путь в 400 км, составляет \(\frac{400}{x}\) часов, а время, которое тратит экспресс-поезд, составляет \(\frac{400}{x+20}\) часов.

По условию задачи, экспресс-поезд проходит это расстояние на 1 час быстрее, чем грузовой. Составим уравнение:

\[\frac{400}{x} - \frac{400}{x+20} = 1\]

Чтобы решить это уравнение, избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на x(x+20):

\[400(x+20) - 400x = x(x+20)\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[400x + 8000 - 400x = x^2 + 20x\] \[x^2 + 20x - 8000 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант D равен:

\[D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8000) = 400 + 32000 = 32400\]

Так как \(\sqrt{32400} = 180\), то корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + 180}{2} = \frac{160}{2} = 80\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - 180}{2} = \frac{-200}{2} = -100\]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение x = 80 км/ч. Это скорость грузового поезда.

Тогда скорость экспресс-поезда равна:

\[x + 20 = 80 + 20 = 100\]

Ответ: 100 км/ч