e значение выражения $$\frac{6}{3+\sqrt{7}}+3\sqrt{7}$$ .

Привет! Давай разберем это выражение вместе. Наша задача — упростить его, чтобы получить более понятный вид.

1. Шаг 1: избавляемся от иррациональности в знаменателе.

   Чтобы избавиться от корня в знаменателе дроби $$\frac{6}{3+\sqrt{7}}$$, мы умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Сопряженное к $$3+\sqrt{7}$$ — это $$3-\sqrt{7}$$.

   $$ \frac{6}{3+\sqrt{7}} \times \frac{3-\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}} $$

   Теперь перемножим числители и знаменатели:

   Числитель: $$6 \times (3-\sqrt{7}) = 18 - 6\sqrt{7}$$

   Знаменатель: $$(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})$$. Здесь мы используем формулу разности квадратов $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$.

   $$ 3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9 - 7 = 2 $$

   Получаем дробь: $$ \frac{18 - 6\sqrt{7}}{2} $$

2. Шаг 2: упрощаем полученную дробь.

   Теперь разделим каждый член числителя на знаменатель:

   $$ \frac{18}{2} - \frac{6\sqrt{7}}{2} = 9 - 3\sqrt{7} $$

3. Шаг 3: складываем с оставшейся частью выражения.

   Исходное выражение было $$\frac{6}{3+\sqrt{7}}+3\sqrt{7}$$. Мы уже упростили первую часть до $$9 - 3\sqrt{7}$$. Теперь сложим:

   $$ (9 - 3\sqrt{7}) + 3\sqrt{7} $$

   Заметим, что $$-3\sqrt{7}$$ и $$+3\sqrt{7}$$ взаимно уничтожаются.

   $$ 9 - 3\sqrt{7} + 3\sqrt{7} = 9 $$

Ответ: 9