Е) Сколькими способами можно из числа 987654321 вычеркнуть ровно две цифры так, чтобы оставшееся после вычёркивания семизначное число делилось на 3?

Решение:

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Исходное число: 987654321. Сумма цифр: \( 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45 \). 45 делится на 3, значит, и исходное число делится на 3.

Нам нужно вычеркнуть две цифры так, чтобы оставшаяся сумма цифр делилась на 3. Сумма вычеркнутых цифр должна быть такой, чтобы оставшаяся сумма делилась на 3. Это значит, что сумма вычеркнутых цифр должна давать такой остаток при делении на 3, чтобы при вычитании его из 45 (делится на 3) остаток полученного числа тоже делился на 3. Иными словами, сумма вычеркнутых цифр должна делиться на 3.

Сумма цифр = 45. Оставшаяся сумма цифр = 45 - (сумма вычеркнутых цифр). Чтобы оставшаяся сумма делилась на 3, сумма вычеркнутых цифр тоже должна делиться на 3.

Найдем пары цифр, сумма которых делится на 3:

• Пары с суммой 3: (1, 2)
• Пары с суммой 6: (1, 5), (2, 4)
• Пары с суммой 9: (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5)
• Пары с суммой 12: (3, 9), (4, 8), (5, 7)
• Пары с суммой 15: (6, 9), (7, 8)
• Пары с суммой 18: (9, 9) - в нашем числе нет двух девяток.

Теперь посчитаем количество способов выбрать такие пары из исходного числа 987654321:

1. Сумма 3: (1, 2) — 1 способ.
2. Сумма 6: (1, 5) — 1 способ; (2, 4) — 1 способ. Всего 2 способа.
3. Сумма 9: (1, 8) — 1 способ; (2, 7) — 1 способ; (3, 6) — 1 способ; (4, 5) — 1 способ. Всего 4 способа.
4. Сумма 12: (3, 9) — 1 способ; (4, 8) — 1 способ; (5, 7) — 1 способ. Всего 3 способа.
5. Сумма 15: (6, 9) — 1 способ; (7, 8) — 1 способ. Всего 2 способа.

Общее количество способов = 1 + 2 + 4 + 3 + 2 = 12.

Ответ: 12 способов.