e $\frac{1}{(x-3)^2} + \frac{3}{x-3} - 4 = 0$

Question

$Фото задания: e $\frac{1}{(x-3)^2} + \frac{3}{x-3} - 4 = 0$$ Фото задания

Accepted Answer

Данное уравнение является квадратным относительно $ \frac{1}{x-3} $.

Введём замену: пусть $ y = \frac{1}{x-3} $.
Уравнение примет вид: $ y^2 + 3y - 4 = 0 $.
Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]
Найдём корни: \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \]
Теперь вернёмся к исходной переменной $ x $ для каждого корня $ y $.
Случай 1: $ y_1 = 1 $

$ \frac{1}{x-3} = 1 $

$ 1 = x - 3 $

$ x = 1 + 3 $

$ x = 4 $

$ \frac{1}{x-3} = -4 $

$ 1 = -4(x - 3) $

$ 1 = -4x + 12 $

$ 4x = 12 - 1 $

$ 4x = 11 $

$ x = \frac{11}{4} $

Ответ: $ x = 4, x = \frac{11}{4} $.

e \(\frac{1}{(x-3)^2} + \frac{3}{x-3} - 4 = 0\)