ДЗ-Призн... 666309c04f

1 вариант

1. Даны два прямоугольных треугольника АВС, ABD (рис 1). Доказать: ΔАВС = ΔADC. Найти ∠ BAD, если BC = CD, ∠ACB = 55°.

Решение:

1. Т.к. ΔABC и ΔADC прямоугольные и BC = CD (дано), AC - общая, то ΔABC = ΔADC по двум катетам.
2. ∠BAC = 90° - ∠ACB = 90° - 55° = 35° (т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°).
3. Т.к. ΔABC = ΔADC, то ∠DAC = ∠BAC = 35°.
4. ∠BAD = ∠BAC + ∠DAC = 35° + 35° = 70°.

Ответ: ∠BAD = 70°

2. Дан ΔABC, BO — высота (рис 2). Доказать: ΔABO = ΔOBC Найдите AB, если ∠ A= 30°, BO = 6 см.

Решение:

1. Т.к. ВО - высота, то углы AOB и COB прямые и равны.
2. ВО - общая сторона.
3. Из условия не следует, что треугольники равны. Возможно, в условии описка и требуется доказать равенство треугольников AOB и CBO, где CO = AO.
4. Рассмотрим ΔABO: ∠A = 30°, ∠AOB = 90°, BO = 6 см.
5. Тогда АВ = 2BO (катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы).
6. АВ = 2 ⋅ 6 = 12 см.

Ответ: АВ = 12 см

3. Дано ΔABC - равнобедренный, ВО - биссектриса (рис 3). Доказать: ΔABO= Δ ОВС Найдите ВО, если ∠ В = 60°, АВ =26 см.

Решение:

1. Т.к. ΔABC - равнобедренный, то АВ = ВС.
2. ВО - биссектриса, значит ∠ABO = ∠OBC = 60°/2 = 30°.
3. ВО - общая сторона.
4. Т.к. углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠A = ∠C.
5. Сумма углов треугольника равна 180°, значит, ∠A = ∠C = (180° - 60°)/2 = 60°.
6. Таким образом, ΔABC - равносторонний, и АВ = ВС = АС = 26 см.
7. ΔABO = ΔOBC по двум сторонам (АВ = ВС, ВО - общая) и углу между ними (∠ABO = ∠OBC).
8. В ΔABO: ∠ABO = 30°, АВ = 26 см.
9. ВО = АВ ⋅ cos(30°) = 26 ⋅ √3/2 = 13√3 см.

Ответ: ВО = 13√3 см

4. Дан треугольник АВС, где угол В = 90°. Внешний угол при вершине А равен 120°, сторона АВ равна 7 см. Чему равна длина гипотенузы?

Решение:

1. ∠A = 180° - 120° = 60° (т.к. внешний угол и смежный с ним в сумме составляют 180°).
2. В прямоугольном ΔABC: ∠A = 60°, ∠B = 90°, АВ = 7 см.
3. ∠C = 90° - ∠A = 90° - 60° = 30°.
4. Тогда АВ - катет, лежащий против угла в 30°, значит, АС = 2АВ (гипотенуза в два раза больше этого катета).
5. АС = 2 ⋅ 7 = 14 см.

Ответ: Длина гипотенузы равна 14 см.

5. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике один из углов 60°, значит, второй острый угол равен 90° - 60° = 30°.
2. Пусть меньший катет (лежащий против угла 30°) равен х, тогда гипотенуза равна 2х.
3. По условию, х + 2х = 42 см.
4. 3х = 42.
5. х = 14 см.
6. Гипотенуза равна 2х = 2 ⋅ 14 = 28 см.

Ответ: Гипотенуза равна 28 см.