Двузначное число записано с помощью нечётных цифр. Если к этому числу приписать справа цифру, стоящую в разряде десятков, то получится число, кратное 11. Найдите наименьшее из таких чисел.

Решение:

• Двузначное число состоит из нечётных цифр, то есть это цифры 1, 3, 5, 7, 9.
• Пусть двузначное число имеет вид 10a + b, где a и b - нечётные цифры.
• К этому числу приписываем справа цифру a, получаем трёхзначное число 100a + 10b + a = 101a + 10b.
• Это число должно быть кратно 11, то есть 101a + 10b должно делиться на 11.
• Перебираем возможные варианты для a и b:
• Если a = 1, то 101 + 10b должно делиться на 11. Подставляем нечётные значения b: 101 + 10(1) = 111 (не делится на 11), 101 + 10(3) = 131 (не делится на 11), 101 + 10(5) = 151 (не делится на 11), 101 + 10(7) = 171 (не делится на 11), 101 + 10(9) = 191 (не делится на 11).
• Если a = 3, то 303 + 10b должно делиться на 11. Подставляем нечётные значения b: 303 + 10(1) = 313 (не делится на 11), 303 + 10(3) = 333 (делится на 11, 333 / 11 = 30 + 3/11).
• Проверяем число 33: приписываем 3, получаем 333. 333/11 = 30.27 (не делится нацело)
• Нужно проверить, чтобы 101a + 10b делилось на 11 без остатка.
• Рассмотрим число 101a + 10b mod 11. Так как 101 ≡ 2 mod 11 и 10 ≡ -1 mod 11, то получаем 2a - b ≡ 0 mod 11, то есть 2a ≡ b mod 11.
• Нам нужно найти наименьшее a и b, удовлетворяющие этому условию.
• Если a = 1, то 2 ≡ b mod 11, значит b = 2, но 2 - чётное, не подходит.
• Если a = 3, то 6 ≡ b mod 11, значит b = 6, но 6 - чётное, не подходит.
• Если a = 5, то 10 ≡ b mod 11, значит b = 10, но 10 - не цифра, не подходит.
• Если a = 7, то 14 ≡ b mod 11, значит b = 3. Тогда число 73, приписываем 7, получаем 737. Проверяем: 737 / 11 = 67. Подходит!
• Если a = 9, то 18 ≡ b mod 11, значит b = 7. Тогда число 97, приписываем 9, получаем 979. Проверяем: 979 / 11 = 89. Подходит!
• Наименьшее из таких чисел - 33. Проверяем: 333/11 = 30,27 - не подходит.
• Наименьшее число 73, 737/11 = 67 - подходит.
• Наименьшее число 97, 979/11 = 89 - подходит.
• Однако, можно рассмотреть двузначные числа, кратные 11, составленные из нечетных цифр: 11, 33, 55, 77, 99. При приписывании цифры десятков к этим числам, должны получиться числа кратные 11.
• Для 11: 111/11 = 10,1 - не подходит
• Для 33: 333/11 = 30,27 - не подходит
• Для 55: 555/11 = 50,45 - не подходит
• Для 77: 777/11 = 70,63 - не подходит
• Для 99: 999/11 = 90,81 - не подходит