Двугранные углы при ребрах основания шестиугольной пирамиды равны по 45°, периметр основания пирамиды равен 18√2, радиус окружности, вписанной в основание равен 2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Для начала, давай разберемся, что нам дано:

• Шестиугольная пирамида.
• Двугранный угол при ребре основания = 45°.
• Периметр основания (P) = 18√2.
• Радиус вписанной окружности (r) = 2.

Что нужно найти: Площадь боковой поверхности пирамиды (S_бок).

Шаг 1: Найдем сторону основания (a).

Так как основание — правильный шестиугольник, то его периметр равен:

P = 6a

18√2 = 6a

a = rac{18√2}{6} = 3√2

Шаг 2: Найдем апофему (h_a) пирамиды.

Апофема — это высота боковой грани. В правильной пирамиде апофема, радиус вписанной окружности основания и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. В данном случае, угол между апофемой и основанием равен двугранному углу, то есть 45°.

Из прямоугольного треугольника, образованного апофемой (h_a), радиусом вписанной окружности (r) и боковым ребром:

tg(45°) = rac{h_a}{r}

1 = rac{h_a}{2}

h_a = 2

Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле:

S_бок = rac{1}{2} * P * h_a

S_бок = rac{1}{2} * 18√2 * 2

S_бок = 18√2

Ответ: 18√2