Две окружности вписаны в один угол 60°. Центр большей окружности лежит на меньшей окружности радиуса 5. Найдите радиус большей окружности.

Пусть (r) - радиус меньшей окружности, а (R) - радиус большей окружности. Дано, что (r = 5). Обозначим вершину угла как (A), центр меньшей окружности как (O_1), а центр большей окружности как (O_2). Поскольку окружности вписаны в угол, центры (O_1) и (O_2) лежат на биссектрисе этого угла. Таким образом, (\angle O_1 A O_2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ). Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, т.е. (O_1 O_2 = r + R). Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром меньшей окружности (O_1), точкой касания меньшей окружности с одной из сторон угла, и вершиной угла (A). В этом треугольнике (\angle O_1 A = 30^\circ), и катет, противолежащий этому углу, равен радиусу (r). Тогда расстояние от вершины (A) до центра меньшей окружности (O_1) равно: \[AO_1 = \frac{r}{\sin 30^\circ} = \frac{r}{1/2} = 2r\] Аналогично, расстояние от вершины (A) до центра большей окружности (O_2) равно: \[AO_2 = \frac{R}{\sin 30^\circ} = 2R\] Так как точка (O_1) лежит на отрезке (AO_2), то \[AO_2 = AO_1 + O_1 O_2\] \[2R = 2r + (r + R)\] \[2R = 3r + R\] \[R = 3r\] Так как (r = 5), то \[R = 3 \cdot 5 = 15\] Таким образом, радиус большей окружности равен 15.