Два туриста вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 5 км. Через 30 минут туристы встретились и, не останавливаясь, продолжили путь с той же скоростью. Первый турист прибыл в пункт В на 25 минут позже, чем второй турист в пункт А. Определите скорость каждого туриста.

Краткая запись:

• Расстояние (S): 5 км
• Время до встречи: 30 минут = 0.5 часа
• Разница во времени прибытия: 25 минут = \(\frac{25}{60}\) часа = \(\frac{5}{12}\) часа
• Найти: Скорость первого туриста (v1) — ?, Скорость второго туриста (v2) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим расстояние, которое каждый турист прошел до встречи. За 30 минут (0.5 часа) они вместе преодолели 5 км. Пусть \(v_1\) – скорость первого туриста, а \(v_2\) – скорость второго. Тогда до встречи первый прошел \(0.5 \times v_1\) км, а второй – \(0.5 \times v_2\) км. Поскольку они двигались навстречу друг другу, сумма пройденных расстояний равна общему расстоянию:
   \(0.5 \times v_1 + 0.5 \times v_2 = 5\)
   Умножим обе части на 2:
   \(v_1 + v_2 = 10\) (Уравнение 1)
2. Шаг 2: Рассмотрим время, которое потребовалось каждому туристу, чтобы пройти весь путь (5 км).
   Время первого туриста: \(t_1 = \frac{5}{v_1}\)
   Время второго туриста: \(t_2 = \frac{5}{v_2}\)
   По условию, первый турист прибыл на 25 минут (\(\frac{5}{12}\) часа) позже второго:
   \(t_1 = t_2 + \frac{5}{12}\)
   Подставляем выражения для времени:
   \(\frac{5}{v_1} = \frac{5}{v_2} + \frac{5}{12}\)
3. Шаг 3: Упростим второе уравнение. Разделим все члены на 5:
   \(\frac{1}{v_1} = \frac{1}{v_2} + \frac{1}{12}\)
   Приведем к общему знаменателю \(12 \times v_1 \times v_2\):
   \(12 \times v_2 = 12 \times v_1 + v_1 \times v_2\)
   \(12v_2 - 12v_1 = v_1v_2\) (Уравнение 2)
4. Шаг 4: Теперь у нас есть система из двух уравнений:
   1) \(v_1 + v_2 = 10\) => \(v_2 = 10 - v_1\)
   2) \(12v_2 - 12v_1 = v_1v_2\)
   Подставим \(v_2\) из первого уравнения во второе:
   \(12(10 - v_1) - 12v_1 = v_1(10 - v_1)\)
   \(120 - 12v_1 - 12v_1 = 10v_1 - v_1^2\)
   \(120 - 24v_1 = 10v_1 - v_1^2\)
5. Шаг 5: Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   \(v_1^2 - 24v_1 - 10v_1 + 120 = 0\)
   \(v_1^2 - 34v_1 + 120 = 0\)
6. Шаг 6: Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):
   \(D = (-34)^2 - 4 \times 1 \times 120 = 1156 - 480 = 676\)
   \(\( \text{sqrt}(D) = \sqrt{676} = 26 \))
   Найдем корни уравнения:
   \(v_1 = \frac{-b \text{ ± } \text{sqrt}(D)}{2a}\)
   \(v_{1,1} = \frac{34 + 26}{2 \times 1} = \frac{60}{2} = 30\) км/ч
   \(v_{1,2} = \frac{34 - 26}{2 \times 1} = \frac{8}{2} = 4\) км/ч
7. Шаг 7: Найдем соответствующие значения \(v_2\) для каждого корня \(v_1\) из Уравнения 1: \(v_2 = 10 - v_1\)
   Если \(v_1 = 30\) км/ч, то \(v_2 = 10 - 30 = -20\) км/ч. Скорость не может быть отрицательной, значит, этот вариант не подходит.
   Если \(v_1 = 4\) км/ч, то \(v_2 = 10 - 4 = 6\) км/ч. Этот вариант подходит.
8. Шаг 8: Проверим условие о разнице во времени.
   Время первого туриста: \(t_1 = \frac{5 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 1.25 \text{ часа}\)
   Время второго туриста: \(t_2 = \frac{5 \text{ км}}{6 \text{ км/ч}} = \frac{5}{6} \text{ часа}\)
   Разница во времени: \(t_1 - t_2 = 1.25 - \frac{5}{6} = \frac{5}{4} - \frac{5}{6} = \frac{15 - 10}{12} = \frac{5}{12} \text{ часа}\)
   \(\frac{5}{12}\) часа = \(25\) минут. Условие выполняется.

Ответ: Скорость первого туриста, направляющегося в пункт В, равна 4 км/ч. Скорость второго туриста, следующего в пункт А, равна 6 км/ч.