Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Два сообщающихся сосуда, площади сечения которых отличаются в два раза, частично заполнены жидкостями с плотностями \( \rho \) и \( 1.2\rho \) до уровней \( h_1 = 13.5 \) см и \( h_2 = 21 \) см. Жидкость плотностью \( \rho \) налита в узкий сосуд. Кран в соединительной трубке изначально закрыт. На сколько сантиметров поднимется уровень жидкости в узком сосуде после открывания крана? Ответ округлите до десятых. Сверху сосуды открыты в атмосферу. Объемом соединительной трубки можно пренебречь. Жидкости из сосудов не выливаются. Донья сосудов находятся на одном и том же горизонтальном уровне.
Ответ:
Пусть \( S \) - площадь сечения узкого сосуда. Тогда площадь сечения широкого сосуда равна \( 2S \).
Запишем условие равенства давлений на уровне соединения сосудов после открытия крана. Давление в узком сосуде:
$$P_1 = \rho g h_1 + \rho g x$$Давление в широком сосуде:
$$P_2 = 1.2\rho g h_2 - 1.2\rho g (x/2)$$Здесь \( x \) - на сколько поднимется уровень жидкости в узком сосуде, тогда в широком сосуде уровень опустится на \( x/2 \), так как площадь сечения в два раза больше.
Приравниваем давления:
$$\rho g h_1 + \rho g x = 1.2\rho g h_2 - 1.2\rho g (x/2)$$Сокращаем на \( \rho g \):
$$h_1 + x = 1.2h_2 - 0.6x$$Выражаем \( x \):
$$1.6x = 1.2h_2 - h_1$$ $$x = \frac{1.2h_2 - h_1}{1.6}$$Подставляем значения \( h_1 = 13.5 \) см и \( h_2 = 21 \) см:
$$x = \frac{1.2 \cdot 21 - 13.5}{1.6} = \frac{25.2 - 13.5}{1.6} = \frac{11.7}{1.6} = 7.3125$$Округляем до десятых: \( x \approx 7.3 \) см.
Ответ: 7.3