Два промышленных фильтра, работая одновременно, очищают цистерну воды за 24 минуты. Определите, за сколько минут второй фильтр очистит цистерну воды, работая отдельно, если известно, он сделает это на 20 минут быстрее, чем первый.

Решение:

Пусть \( V \) — объём цистерны воды.

Пусть \( t_1 \) — время, за которое первый фильтр очищает цистерну, работая отдельно.

Пусть \( t_2 \) — время, за которое второй фильтр очищает цистерну, работая отдельно.

Скорость работы первого фильтра: \( v_1 = \frac{V}{t_1} \).

Скорость работы второго фильтра: \( v_2 = \frac{V}{t_2} \).

Когда фильтры работают одновременно, их скорости складываются: \( v_1 + v_2 = \frac{V}{24} \).

Из условия известно, что второй фильтр работает на 20 минут быстрее, чем первый: \( t_2 = t_1 - 20 \).

Подставляем выражения для скоростей в уравнение одновременной работы:

\( \frac{V}{t_1} + \frac{V}{t_2} = \frac{V}{24} \).

Разделим обе части на \( V \):

\( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{24} \).

Подставим \( t_2 = t_1 - 20 \):

\( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 - 20} = \frac{1}{24} \).

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{(t_1 - 20) + t_1}{t_1(t_1 - 20)} = \frac{1}{24} \).

\( \frac{2t_1 - 20}{t_1^2 - 20t_1} = \frac{1}{24} \).

Перекрёстное умножение:

\( 24(2t_1 - 20) = t_1^2 - 20t_1 \).

\( 48t_1 - 480 = t_1^2 - 20t_1 \).

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( t_1^2 - 20t_1 - 48t_1 + 480 = 0 \).

\( t_1^2 - 68t_1 + 480 = 0 \).

Решим квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \).

\( D = (-68)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 480 = 4624 - 1920 = 2704 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52 \).

Найдём корни \( t_1 \):

\( t_{1,1} = \frac{-(-68) + 52}{2 \cdot 1} = \frac{68 + 52}{2} = \frac{120}{2} = 60 \).

\( t_{1,2} = \frac{-(-68) - 52}{2 \cdot 1} = \frac{68 - 52}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).

Если \( t_1 = 8 \) минут, то \( t_2 = 8 - 20 = -12 \), что невозможно, так как время не может быть отрицательным.

Следовательно, \( t_1 = 60 \) минут.

Теперь найдём \( t_2 \):

\( t_2 = t_1 - 20 = 60 - 20 = 40 \) минут.

Проверка:

Скорость первого фильтра: \( v_1 = \frac{V}{60} \).

Скорость второго фильтра: \( v_2 = \frac{V}{40} \).

Одновременная работа: \( v_1 + v_2 = \frac{V}{60} + \frac{V}{40} = \frac{2V + 3V}{120} = \frac{5V}{120} = \frac{V}{24} \).

Это соответствует условию задачи.

Ответ: 40 минут.