Два покрытых кальцием электрода, один из которых заземлен, находятся в вакууме. Один из электродов заземлен. К ним подключен конденсатор емкостью C₁ = 20000пФ. Появившийся в начале фототок при длительном освещении прекращается, при этом на конденсаторе возникает заряд q = 2·10⁻⁸ Кл. Работа выхода электронов из кальция А = 4,42·10⁻¹⁹ Дж. Определите длину волны света, освещающего катод.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта и связью заряда на конденсаторе с напряжением.

1. Определим напряжение на конденсаторе.
   Заряд на конденсаторе связан с напряжением формулой: \( q = C_1 · U \).
   Отсюда напряжение: \( U = \frac{q}{C_1} \).
   Подставим значения: \( q = 2 \cdot 10^{-8} \) Кл, \( C_1 = 20000 \text{ пФ} = 20000 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 2 \cdot 10^{-8} \) Ф.
   \[ U = \frac{2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}}{2 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}} = 1 \text{ В} \]
2. Свяжем напряжение с энергией фотонов.
   Фототок прекращается, когда напряжение на конденсаторе достигает значения, при котором энергия фотонов достаточна только для преодоления работы выхода. Это напряжение является запирающим. По сути, напряжение на конденсаторе в конце процесса равно запирающему напряжению \( U_{зап} \).
   Работа выхода \( A \) связана с энергией фотона \( E_{\text{фотон}} \) и кинетической энергией вылетевших электронов \( E_{k, \text{макс}} \) уравнением Эйнштейна: \( E_{\text{фотон}} = A + E_{k, \text{макс}} \).
   Запирающее напряжение связано с максимальной кинетической энергией: \( E_{k, \text{макс}} = e · U_{зап} \), где \( e \) — элементарный заряд.
   Таким образом, \( E_{\text{фотон}} = A + e · U_{зап} \).
3. Вычислим энергию фотона.
   Используем найденное напряжение: \( U_{зап} = U = 1 \) В. Элементарный заряд \( e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \) Кл.
   Работа выхода \( A = 4.42 \cdot 10^{-19} \) Дж.
   \[ E_{\text{фотон}} = 4.42 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} + 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 1 \text{ В} = 4.42 \cdot 10^{-19} + 1.6 \cdot 10^{-19} = (4.42 + 1.6) \cdot 10^{-19} = 6.02 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \]
4. Найдем длину волны света.
   Энергия фотона также связана с длиной волны \( λ \) и постоянной Планка \( h \) формулой: \( E_{\text{фотон}} = \frac{h \cdot c}{λ} \), где \( c \) — скорость света в вакууме (приблизительно \( 3 \cdot 10^8 \) м/с).
   Выразим длину волны: \( λ = \frac{h \cdot c}{E_{\text{фотон}}} \).
   Подставим значения: \( h \approx 6.626 \cdot 10^{-34} \) Дж·с, \( c = 3 \cdot 10^8 \) м/с, \( E_{\text{фотон}} = 6.02 \cdot 10^{-19} \) Дж.
   \[ λ = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} · \text{с} \u00B7 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{6.02 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}} \]\[ λ \approx \frac{19.878 \cdot 10^{-26}}{6.02 \cdot 10^{-19}} \text{ м} \]\[ λ \approx 3.302 \cdot 10^{-7} \text{ м} \]
5. Переведем длину волны в нанометры.
   \( 1 \text{ м} = 10^9 \text{ нм} \).
   \[ λ \approx 3.302 \cdot 10^{-7} \text{ м} \cdot 10^9 \text{ нм/м} = 330.2 \text{ нм} \]

Ответ: длина волны света составляет приблизительно 330.2 нм.