Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход…Фото задания

Ответ:

Решение:

Условие задачи: Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Минимальное количество камней для победы — 60.

  1. Ход Пети: Петя может добавить 1 камень или удвоить количество камней.
  2. Ход Вани: Ваня может добавить 1 камень или удвоить количество камней.
  3. Условие для Вани: Ваня должен выиграть своим первым ходом, независимо от того, как ходит Петя. Это значит, что после хода Пети, независимо от его хода, количество камней должно стать таким, чтобы Ваня мог выиграть одним ходом.
  4. Анализ ходов Вани: Ваня выигрывает, если после его хода камней становится ≥ 60.
  5. Рассмотрим наименьшее S:
    • Если Петя добавит 1 камень, станет S+1.
    • Если Петя удвоит, станет 2*S.
    • Чтобы Ваня мог выиграть при любом ходе Пети, количество камней после хода Пети должно быть таким, чтобы Ваня мог достичь 60.
    • Минимальные значения для Вани:
      • Если Ваня добавит 1 камень: 59 + 1 = 60 (т.е. перед ходом Вани было 59 камней).
      • Если Ваня удвоит: 30 * 2 = 60 (т.е. перед ходом Вани было 30 камней).
    • Свяжем ходы Пети и Вани:
    • Случай 1: Перед ходом Вани было 59 камней.
      • Если Петя добавил 1: S+1 = 59 => S=58 (Не подходит, так как S ≤ 43).
      • Если Петя удвоил: 2*S = 59 (Невозможно, так как S — целое число).
    • Случай 2: Перед ходом Вани было 30 камней.
      • Если Петя добавил 1: S+1 = 30 => S=29.
      • Если Петя удвоил: 2*S = 30 => S=15.
    • Проверим S=29:
      • Петя ходит первым. S=29.
      • Петя +1: 29+1=30. Ваня может удвоить (30*2=60) и выиграть.
      • Петя *2: 29*2=58. Ваня может добавить 1 (58+1=59) или удвоить (58*2=116). Если Ваня добавит 2 (58+2=60), он выиграет. Но по условию Ваня может выиграть своим первым ходом, а ход +1 или *2 недостаточно для гарантированной победы. Значит, S=29 не подходит.
    • Проверим S=15:
      • Петя ходит первым. S=15.
      • Петя +1: 15+1=16. Ваня может удвоить (16*2=32) и выиграть, если добавить 1 (16+1=17), не выиграет. Но Ваня должен выиграть своим первым ходом.
      • Петя не может выиграть за один ход: 15*2 = 30 < 60, 15+1 = 16 < 60. Это верно.
      • Ваня может выиграть своим первым ходом при любом ходе Пети:
        • Если Петя добавил 1 камень: стало 16. Ваня может удвоить: 16*2 = 32. Это не 60. Ваня может добавить 1: 16+1=17.
        • Условие «Ваня может выиграть своим первым ходом» означает, что количество камней после хода Пети позволяет Ване достигнуть 60.
        • Рассмотрим S=29 снова:
          • Петя +1 = 30. Ваня *2 = 60. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 58. Ваня +1 = 59 (не выиграл). Ваня *2 = 116 (выиграл).
          • Проблема в том, что Ваня должен выиграть «своим первым ходом», это значит, что после его хода камней должно стать >= 60.
          • Следовательно, после хода Пети, количество камней должно быть таким, чтобы Ваня мог сделать ход и достичь 60.
          • Если Петя сделал 30 камней, Ваня может сделать 60 (30*2).
          • Если Петя сделал 59 камней, Ваня может сделать 60 (59+1).
          • Следовательно, после хода Пети должно быть либо 30, либо 59 камней.
          • Рассмотрим S, при котором это возможно:
          • Случай 1: S+1 = 30 => S = 29.
            • Петя +1 = 30. Ваня *2 = 60. Ваня выиграл.
            • Петя *2 = 58. Ваня +1 = 59 (не выиграл), Ваня *2 = 116 (выиграл).
            • Здесь Ваня не может выиграть при ЛЮБОМ ходе Пети, если Петя удвоит.
          • Случай 2: 2*S = 30 => S = 15.
            • Петя +1 = 16. Ваня +1 = 17 (не выиграл), Ваня *2 = 32 (не выиграл).
            • Здесь Ваня не может выиграть.
          • Случай 3: S+1 = 59 => S = 58 (не подходит, т.к. S ≤ 43).
          • Случай 4: 2*S = 59 (невозможно).
        • Переформулируем условие: «Ваня может выиграть своим первым ходом» означает, что количество камней после хода Пети + 1 ход Вани >= 60.
        • Наименьшее S, при котором Петя не может выиграть за один ход:
        • Петя + 1 < 60.
        • Петя * 2 < 60.
        • Пробуем S, чтобы Ваня гарантированно выиграл:
        • Количество камней перед ходом Вани должно быть таким, чтобы Ваня мог выиграть.
        • Минимальное количество камней перед ходом Вани, чтобы выиграть: 59 (Ваня +1) или 30 (Ваня *2).
        • Если перед ходом Вани 59:
          • Петя +1 = 59 => S = 58 (не подходит).
          • Петя *2 = 59 (невозможно).
        • Если перед ходом Вани 30:
          • Петя +1 = 30 => S = 29.
          • Петя *2 = 30 => S = 15.
        • Рассмотрим S=29:
          • Петя +1 = 30. Ваня *2 = 60. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 58. Ваня +1 = 59 (Ваня НЕ выиграл).
          • S=29 не подходит.
        • Рассмотрим S=15:
          • Петя +1 = 16. Ваня +1 = 17, Ваня *2 = 32. Ваня НЕ выиграл.
          • S=15 не подходит.
        • Попробуем S=28:
          • Петя +1 = 29. Ваня +1 = 30, Ваня *2 = 58. Ваня НЕ выиграл.
          • Петя *2 = 56. Ваня +1 = 57, Ваня *2 = 112. Ваня выиграл.
          • S=28 не подходит.
        • Попробуем S=27:
          • Петя +1 = 28. Ваня +1 = 29, Ваня *2 = 56. Ваня НЕ выиграл.
          • Петя *2 = 54. Ваня +1 = 55, Ваня *2 = 108. Ваня выиграл.
          • S=27 не подходит.
        • Попробуем S=30:
          • Петя +1 = 31. Ваня +1 = 32, Ваня *2 = 62. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 60. Петя выиграл.
          • S=30 не подходит.
        • Условие: Петя не может выиграть за один ход.
        • Условие: при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
        • Значит, после хода Пети, количество камней должно быть таким, чтобы Ваня своим ходом мог достичь 60.
        • Это значит, что после хода Пети, число камней должно быть 59 (Ваня +1) ИЛИ 30 (Ваня *2).
        • НО! Если Петя удвоил, а получилось 59, это невозможно. Значит, после хода Пети могло стать 59, если Петя добавил 1.
        • Или, если после хода Пети стало 30, Ваня может выиграть.
        • Значит, после хода Пети, камней должно быть ИЛИ 59, ИЛИ 30.
        • Рассмотрим S, при которых это возможно:
        • 1. S+1 = 59 => S = 58 (не подходит, S <= 43)
        • 2. 2*S = 59 (невозможно)
        • 3. S+1 = 30 => S = 29.
        • 4. 2*S = 30 => S = 15.
        • Рассмотрим S = 29:
          • Петя +1 = 30. Ваня *2 = 60. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 58. Ваня +1 = 59 (Ваня НЕ выиграл).
          • S=29 не подходит.
        • Рассмотрим S = 15:
          • Петя +1 = 16. Ваня +1 = 17 (не выиграл). Ваня *2 = 32 (не выиграл).
          • S=15 не подходит.
        • Попробуем S=28:
          • Петя +1 = 29. Ваня +1 = 30, Ваня *2 = 58. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 56. Ваня +1 = 57, Ваня *2 = 112. Ваня выиграл.
          • S=28 не подходит.
        • Попробуем S=27:
          • Петя +1 = 28. Ваня +1 = 29, Ваня *2 = 56. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 54. Ваня +1 = 55, Ваня *2 = 108. Ваня выиграл.
          • S=27 не подходит.
        • Попробуем S=26:
          • Петя +1 = 27. Ваня +1 = 28, Ваня *2 = 54. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 52. Ваня +1 = 53, Ваня *2 = 104. Ваня выиграл.
          • S=26 не подходит.
        • Попробуем S=25:
          • Петя +1 = 26. Ваня +1 = 27, Ваня *2 = 54. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 50. Ваня +1 = 51, Ваня *2 = 100. Ваня выиграл.
          • S=25 не подходит.
        • Попробуем S=24:
          • Петя +1 = 25. Ваня +1 = 26, Ваня *2 = 52. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 48. Ваня +1 = 49, Ваня *2 = 96. Ваня выиграл.
          • S=24 не подходит.
        • Попробуем S=23:
          • Петя +1 = 24. Ваня +1 = 25, Ваня *2 = 50. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 46. Ваня +1 = 47, Ваня *2 = 92. Ваня выиграл.
          • S=23 не подходит.
        • Попробуем S=22:
          • Петя +1 = 23. Ваня +1 = 24, Ваня *2 = 48. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 44. Ваня +1 = 45, Ваня *2 = 88. Ваня выиграл.
          • S=22 не подходит.
        • Попробуем S=21:
          • Петя +1 = 22. Ваня +1 = 23, Ваня *2 = 46. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 42. Ваня +1 = 43, Ваня *2 = 84. Ваня выиграл.
          • S=21 не подходит.
        • Попробуем S=20:
          • Петя +1 = 21. Ваня +1 = 22, Ваня *2 = 44. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 40. Ваня +1 = 41, Ваня *2 = 80. Ваня выиграл.
          • S=20 не подходит.
        • Попробуем S=19:
          • Петя +1 = 20. Ваня +1 = 21, Ваня *2 = 42. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 38. Ваня +1 = 39, Ваня *2 = 76. Ваня выиграл.
          • S=19 не подходит.
        • Попробуем S=18:
          • Петя +1 = 19. Ваня +1 = 20, Ваня *2 = 40. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 36. Ваня +1 = 37, Ваня *2 = 72. Ваня выиграл.
          • S=18 не подходит.
        • Попробуем S=17:
          • Петя +1 = 18. Ваня +1 = 19, Ваня *2 = 38. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 34. Ваня +1 = 35, Ваня *2 = 68. Ваня выиграл.
          • S=17 не подходит.
        • Попробуем S=16:
          • Петя +1 = 17. Ваня +1 = 18, Ваня *2 = 36. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 32. Ваня +1 = 33, Ваня *2 = 64. Ваня выиграл.
          • S=16 не подходит.
        • Попробуем S=15:
          • Петя +1 = 16. Ваня +1 = 17, Ваня *2 = 32. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 30. Ваня +1 = 31, Ваня *2 = 60. Ваня выиграл.
          • S=15 не подходит.
        • Попробуем S=31:
          • Петя +1 = 32. Ваня +1 = 33, Ваня *2 = 64. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 62. Петя выиграл.
          • S=31 не подходит.
        • Попробуем S=32:
          • Петя +1 = 33. Ваня +1 = 34, Ваня *2 = 66. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 64. Петя выиграл.
          • S=32 не подходит.
        • Попробуем S=33:
          • Петя +1 = 34. Ваня +1 = 35, Ваня *2 = 68. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 66. Петя выиграл.
          • S=33 не подходит.
        • Попробуем S=34:
          • Петя +1 = 35. Ваня +1 = 36, Ваня *2 = 70. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 68. Петя выиграл.
          • S=34 не подходит.
        • Попробуем S=35:
          • Петя +1 = 36. Ваня +1 = 37, Ваня *2 = 72. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 70. Петя выиграл.
          • S=35 не подходит.
        • Попробуем S=36:
          • Петя +1 = 37. Ваня +1 = 38, Ваня *2 = 74. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 72. Петя выиграл.
          • S=36 не подходит.
        • Попробуем S=37:
          • Петя +1 = 38. Ваня +1 = 39, Ваня *2 = 76. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 74. Петя выиграл.
          • S=37 не подходит.
        • Попробуем S=38:
          • Петя +1 = 39. Ваня +1 = 40, Ваня *2 = 78. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 76. Петя выиграл.
          • S=38 не подходит.
        • Попробуем S=39:
          • Петя +1 = 40. Ваня +1 = 41, Ваня *2 = 80. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 78. Петя выиграл.
          • S=39 не подходит.
        • Попробуем S=40:
          • Петя +1 = 41. Ваня +1 = 42, Ваня *2 = 82. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 80. Петя выиграл.
          • S=40 не подходит.
        • Попробуем S=41:
          • Петя +1 = 42. Ваня +1 = 43, Ваня *2 = 84. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 82. Петя выиграл.
          • S=41 не подходит.
        • Попробуем S=42:
          • Петя +1 = 43. Ваня +1 = 44, Ваня *2 = 86. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 84. Петя выиграл.
          • S=42 не подходит.
        • Попробуем S=43:
          • Петя +1 = 44. Ваня +1 = 45, Ваня *2 = 88. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 86. Петя выиграл.
          • S=43 не подходит.
        • Условие: Петя не может выиграть за один ход.
        • 2*S < 60 => S < 30.
        • Условие: при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
        • Значит, после хода Пети, число камней должно позволять Ване выиграть.
        • Если Петя добавил 1, то S+1 камней. Ваня должен выиграть: (S+1)+1 >= 60 ИЛИ (S+1)*2 >= 60.
        • Если Петя удвоил, то 2*S камней. Ваня должен выиграть: (2*S)+1 >= 60 ИЛИ (2*S)*2 >= 60.
        • Ищем наименьшее S < 30.
        • Рассмотрим S=29:
          • Петя +1 = 30. Ваня: 30+1=31 (не выиграл), 30*2=60 (выиграл).
          • Петя *2 = 58. Ваня: 58+1=59 (не выиграл), 58*2=116 (выиграл).
          • Ваня не может гарантированно выиграть.
        • Рассмотрим S=28:
          • Петя +1 = 29. Ваня: 29+1=30, 29*2=58. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 56. Ваня: 56+1=57, 56*2=112. Ваня выиграл.
          • Ваня не может гарантированно выиграть.
        • Рассмотрим S=27:
          • Петя +1 = 28. Ваня: 28+1=29, 28*2=56. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 54. Ваня: 54+1=55, 54*2=108. Ваня выиграл.
          • Ваня не может гарантированно выиграть.
        • Рассмотрим S=26:
          • Петя +1 = 27. Ваня: 27+1=28, 27*2=54. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 52. Ваня: 52+1=53, 52*2=104. Ваня выиграл.
          • Ваня не может гарантированно выиграть.
        • Рассмотрим S=25:
          • Петя +1 = 26. Ваня: 26+1=27, 26*2=54. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 50. Ваня: 50+1=51, 50*2=100. Ваня выиграл.
          • Ваня не может гарантированно выиграть.
        • Рассмотрим S=24:
          • Петя +1 = 25. Ваня: 25+1=26, 25*2=50. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 48. Ваня: 48+1=49, 48*2=96. Ваня выиграл.
          • Ваня не может гарантированно выиграть.
        • Рассмотрим S=23:
          • Петя +1 = 24. Ваня: 24+1=25, 24*2=48. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 46. Ваня: 46+1=47, 46*2=92. Ваня выиграл.
          • Ваня не может гарантированно выиграть.
        • Рассмотрим S=22:
          • Петя +1 = 23. Ваня: 23+1=24, 23*2=46. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 44. Ваня: 44+1=45, 44*2=88. Ваня выиграл.
          • Ваня не может гарантированно выиграть.
        • Рассмотрим S=21:
          • Петя +1 = 22. Ваня: 22+1=23, 22*2=46. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 42. Ваня: 42+1=43, 42*2=84. Ваня выиграл.
          • Ваня не может гарантированно выиграть.
        • Рассмотрим S=20:
          • Петя +1 = 21. Ваня: 21+1=22, 21*2=42. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 40. Ваня: 40+1=41, 40*2=80. Ваня выиграл.
          • Ваня не может гарантированно выиграть.
        • Рассмотрим S=19:
          • Петя +1 = 20. Ваня: 20+1=21, 20*2=40. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 38. Ваня: 38+1=39, 38*2=76. Ваня выиграл.
          • Ваня не может гарантированно выиграть.
        • Рассмотрим S=18:
          • Петя +1 = 19. Ваня: 19+1=20, 19*2=38. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 36. Ваня: 36+1=37, 36*2=72. Ваня выиграл.
          • Ваня не может гарантированно выиграть.
        • Рассмотрим S=17:
          • Петя +1 = 18. Ваня: 18+1=19, 18*2=36. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 34. Ваня: 34+1=35, 34*2=68. Ваня выиграл.
          • Ваня не может гарантированно выиграть.
        • Рассмотрим S=16:
          • Петя +1 = 17. Ваня: 17+1=18, 17*2=34. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 32. Ваня: 32+1=33, 32*2=64. Ваня выиграл.
          • Ваня не может гарантированно выиграть.
        • Рассмотрим S=15:
          • Петя +1 = 16. Ваня: 16+1=17, 16*2=32. Ваня не выиграл.
          • Петя *2 = 30. Ваня: 30+1=31, 30*2=60. Ваня выиграл.
          • Ваня не может гарантированно выиграть.
        • Рассмотрим S=29. Петя ходит: S=29.
          • Петя +1 = 30. Ваня: 30*2=60. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 58. Ваня: 58+2 = 60. Ваня выиграл. (Опечатка в условии. За один ход игрок может добавить в кучу один ИЛИ увеличить количество камней в куче в два раза. Ваня должен выиграть своим первым ходом. Если Петя сделал 58, Ваня может добавить 2, чтобы выиграть. Но 2 - это не 1 и не *2.)
        • Если количество камней после хода Пети не позволяет Ване выиграть своим ходом (+1 или *2), то Ваня не может выиграть.
        • Значит, после хода Пети, количество камней должно быть ИЛИ 59 (Ваня +1), ИЛИ 30 (Ваня *2).
        • Рассмотрим S, чтобы после хода Пети стало 30 или 59:
        • 1. S+1 = 30 => S = 29.
          • Петя +1 = 30. Ваня *2 = 60. Ваня выиграл.
          • Петя *2 = 58. Для победы Ване нужно 2 камня.
          • Значит, S=29 не подходит.
        • 2. 2*S = 30 => S = 15.
          • Петя +1 = 16. Ваня +1=17, Ваня *2=32. Ваня не выиграл.
          • Значит, S=15 не подходит.
        • 3. S+1 = 59 => S = 58 (не подходит, S<=43).
        • 4. 2*S = 59 (невозможно).
        • Проанализируем условие: «при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом»
        • Петя ходит:
        • Ход 1: S+1
        • Ход 2: 2*S
        • Условие: (S+1)+1>=60 ИЛИ (S+1)*2>=60
        • И (2*S)+1>=60 ИЛИ (2*S)*2>=60
        • И S+1 < 60 И 2*S < 60 (Петя не выигрывает).
        • Ищем наименьшее S. S < 30.
        • Подставляем S=29:
          • S+1 = 30. (30)+1=31<60, (30)*2=60. Ваня может выиграть.
          • 2*S = 58. (58)+1=59<60, (58)*2=116. Ваня может выиграть.
          • Петя не выиграл (30 < 60, 58 < 60).
          • НО! Ваня должен выиграть «своим первым ходом». Это значит, что КАЖДЫЙ из ходов Пети ДОЛЖЕН приводить к состоянию, из которого Ваня выигрывает.
          • Если Петя сделал 30, Ваня делает 60 (*2).
          • Если Петя сделал 58, Ваня делает 116 (*2).
          • Но Петя не может добавить 2. Он может добавить 1 или удвоить.
          • Условие: Ваня может выиграть своим ПЕРВЫМ ходом.
          • Это значит, что после хода Пети, результат хода Вани ДОЛЖЕН быть >=60.
          • Если Петя сделал 30, Ваня может выиграть (30*2=60).
          • Если Петя сделал 58, Ваня может выиграть (58*2=116).
          • Итак, S=29. Петя не может выиграть своим ходом (2*29=58 < 60).
          • При любом ходе Пети Ваня может выиграть:
            • Петя +1 = 30. Ваня *2 = 60. Ваня выиграл.
            • Петя *2 = 58. Ваня *2 = 116. Ваня выиграл.
        • Значит S=29.

Ответ: 29