Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 5,5 км от дома. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.

Решение:

Обозначим:

• \( S \) — расстояние до опушки, \( S = 5.5 \text{ км} \).
• \( v_1 \) — скорость первого человека, \( v_1 = 2.5 \text{ км/ч} \).
• \( v_2 \) — скорость второго человека, \( v_2 = 3 \text{ км/ч} \).

1. Время в пути до опушки для второго человека:

\( t_{2 \to опушки} = \frac{S}{v_2} = \frac{5.5 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = \frac{11}{6} \text{ ч} \).

2. Время в пути первого человека до момента встречи:

Пусть \( t \) — время, через которое они встретятся. За это время первый человек пройдёт расстояние \( S_1 = v_1 \cdot t \).

Второй человек, пройдя до опушки \( S \) и вернувшись на некоторое расстояние \( S_{2\text{возвр}} \), встретится с первым.

Общее расстояние, которое пройдет второй человек до момента встречи: \( S_2 = S + S_{2\text{возвр}} \).

Пусть \( t \) — время до встречи.

Первый человек пройдёт: \( S_1 = v_1 \cdot t \).

Второй человек дойдёт до опушки за \( t_{2 \to опушки} = \frac{5.5}{3} \text{ ч} \).

Оставшееся время до встречи: \( t - t_{2 \to опушки} \).

За это время второй человек пройдёт расстояние: \( S_{2\text{возвр}} = v_2 \cdot (t - t_{2 \to опушки}) \).

Условие встречи: \( S_1 = S - S_{2\text{возвр}} \) (расстояние первого от дома равно расстоянию второго от опушки, если он возвращается).

\( v_1 \cdot t = S - v_2 \cdot (t - t_{2 \to опушки}) \)

\( 2.5 \cdot t = 5.5 - 3 \cdot (t - \frac{5.5}{3}) \)

\( 2.5t = 5.5 - 3t + 3 \cdot \frac{5.5}{3} \)

\( 2.5t = 5.5 - 3t + 5.5 \)

\( 2.5t + 3t = 5.5 + 5.5 \)

\( 5.5t = 11 \)

\( t = \frac{11}{5.5} = 2 \text{ ч} \).

3. Расстояние от дома до места встречи:

Расстояние, которое пройдёт первый человек за 2 часа:

\( S_{\text{встречи}} = v_1 \cdot t = 2.5 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 5 \text{ км} \).

Проверка:

За 2 часа первый прошёл 5 км.

Второй человек за 2 часа пройдёт \( v_2 \cdot t = 3 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 6 \text{ км} \).

Это значит, что он дошёл до опушки (5.5 км) и вернулся на 0.5 км обратно.

Расстояние второго человека от дома: \( 5.5 \text{ км} - 0.5 \text{ км} = 5 \text{ км} \).

Места встречи совпадают.

Ответ: 5 км.