Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одной и той же точки замкнутой трассы. Они должны пробежать несколько кругов. Спустя полчаса, когда одному из них оставалось полкилометра до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 10 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 7 км/ч меньше скорости второго. Запишите решение и ответ.

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость первого бегуна (в км/ч), а \( v_2 \) — скорость второго бегуна (в км/ч).

По условию, \( v_1 = v_2 - 7 \) (1).

Через полчаса (\( t = 0.5 \) ч) первый бегун находился на расстоянии 0.5 км от финиша своего первого круга. Это означает, что первый бегун пробежал \( S_1 = D - 0.5 \text{ км} \), где \( D \) — длина круга.

Скорость первого бегуна: \( v_1 = \frac{D - 0.5}{0.5} \) (2).

В этот же момент времени (через 0.5 ч после старта), второй бегун пробежал первый круг 10 минут (\( \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \) ч) назад. Это значит, что второй бегун закончил свой первый круг в момент времени \( t_{finish2} = 0.5 - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) часа после старта.

Значит, длина круга \( D \) равна расстоянию, которое пробежал второй бегун за \( \frac{1}{3} \) часа:

\( D = v_2 \times \frac{1}{3} \) (3).

Теперь подставим \( v_2 \) из уравнения (1) в уравнение (3):

\( D = (v_1 + 7) \times \frac{1}{3} \) (4).

Подставим \( v_1 \) из уравнения (2) в уравнение (4):

\( D = (\frac{D - 0.5}{0.5} + 7) \times \frac{1}{3} \)

Умножим обе части на 3:

\( 3D = \frac{D - 0.5}{0.5} + 7 \)

Умножим обе части на 0.5:

\( 1.5D = D - 0.5 + 3.5 \)

\( 1.5D = D + 3 \)

\( 1.5D - D = 3 \)

\( 0.5D = 3 \)

\( D = \frac{3}{0.5} = 6 \text{ км} \)

Теперь, когда мы знаем длину круга, мы можем найти скорость первого бегуна, используя уравнение (2):

\( v_1 = \frac{6 - 0.5}{0.5} = \frac{5.5}{0.5} = 11 \text{ км/ч} \)

Найдем скорость второго бегуна:

\( v_2 = v_1 + 7 = 11 + 7 = 18 \text{ км/ч} \)

Проверим: время второго бегуна на круг: \( T_2 = \frac{D}{v_2} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \) часа. Время первого бегуна на круг: \( T_1 = \frac{D}{v_1} = \frac{6}{11} \) часа. Разница во времени: \( T_1 - T_2 = \frac{6}{11} - \frac{1}{3} = \frac{18 - 11}{33} = \frac{7}{33} \) часа. Это не 10 минут. Следовательно, есть ошибка в интерпретации условия.

Рассмотрим другую интерпретацию:

Через 0.5 часа после старта, первому бегуну оставалось 0.5 км до конца круга. Значит, он пробежал \( S_1 = D - 0.5 \text{ км} \). Его скорость \( v_1 = \frac{D - 0.5}{0.5} \).

Второй бегун пробежал первый круг 10 минут (\( 1/6 \) часа) назад. Это означает, что в момент времени \( 0.5 \) ч, второй бегун пробежал свой первый круг \( 1/6 \) часа назад. То есть, он закончил первый круг в \( 0.5 - 1/6 = 1/3 \) часа. Его скорость \( v_2 = \frac{D}{1/3} = 3D \).

Подставим \( v_2 = 3D \) в \( v_1 = v_2 - 7 \):

\( v_1 = 3D - 7 \).

Теперь приравняем два выражения для \( v_1 \):

\( \frac{D - 0.5}{0.5} = 3D - 7 \)

\( D - 0.5 = 0.5(3D - 7) \)

\( D - 0.5 = 1.5D - 3.5 \)

\( 3.5 - 0.5 = 1.5D - D \)

\( 3 = 0.5D \)

\( D = 6 \text{ км} \).

Тогда \( v_1 = 3D - 7 = 3(6) - 7 = 18 - 7 = 11 \text{ км/ч} \).

И \( v_2 = 3D = 3(6) = 18 \text{ км/ч} \).

Проверим: \( v_1 = 11 \text{ км/ч} \), \( v_2 = 18 \text{ км/ч} \). \( v_1 = v_2 - 7 \) => \( 11 = 18 - 7 \) (верно).

Через 0.5 часа первый бегун пробежал: \( 11 \text{ км/ч} \times 0.5 \text{ ч} = 5.5 \text{ км} \). Длина круга 6 км. Оставалось \( 6 - 5.5 = 0.5 \text{ км} \) до конца круга. (верно).

Второй бегун пробежал первый круг (6 км) за \( \frac{6 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = \frac{1}{3} \) часа. Время, когда это произошло, было \( 0.5 \text{ ч} - 1/3 \text{ ч} = 1/6 \) часа назад. 1/6 часа = 10 минут. (верно).

Ответ: 11 км/ч