Два 3D - принтера должны были изготовить некоторое количество деталей. 1 час 30 минут принтеры проработали вместе, после чего первый принтер сломался. Второй принтер закончил оставшуюся часть работы за 1 час. За какое время мог изготовить запланированное количество деталей второй принтер, если ему требуется для этого на 2 часа больше, чем первому?

Решение:

Пусть \(N\) — общее запланированное количество деталей.

Пусть \(t_1\) — время, за которое первый принтер мог бы изготовить все детали (ч).

Пусть \(t_2\) — время, за которое второй принтер мог бы изготовить все детали (ч).

По условию, \(t_2 = t_1 + 2\).

Производительность первого принтера: \(P_1 = \frac{N}{t_1}\) (деталей/ч).

Производительность второго принтера: \(P_2 = \frac{N}{t_2} = \frac{N}{t_1+2}\) (деталей/ч).

Принтеры работали вместе 1 час 30 минут, что составляет 1.5 часа.

За это время они вместе изготовили:

\(N_{общ} = (P_1 + P_2) \times 1.5 = (\frac{N}{t_1} + \frac{N}{t_1+2}) \times 1.5\)

Первый принтер сломался, и второй принтер закончил оставшуюся часть работы за 1 час. Это означает, что второй принтер за 1 час изготовил оставшееся количество деталей.

Количество деталей, изготовленных вторым принтером за 1 час: \(N_{ост} = P_2 \times 1 = \frac{N}{t_1+2}\).

Общее количество деталей \(N\) равно сумме деталей, изготовленных вместе, и деталей, изготовленных вторым принтером:

\(N = N_{общ} + N_{ост}\)

\(N = (\frac{N}{t_1} + \frac{N}{t_1+2}) \times 1.5 + \frac{N}{t_1+2}\)

Разделим все на \(N\) (предполагая, что \(N > 0\)):

\(1 = (\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1+2}) \times 1.5 + \frac{1}{t_1+2}\)

\(1 = \frac{1.5}{t_1} + \frac{1.5}{t_1+2} + \frac{1}{t_1+2}\)

\(1 = \frac{1.5}{t_1} + \frac{2.5}{t_1+2}\)

Умножим обе части на \(t_1(t_1+2)\):

\(t_1(t_1+2) = 1.5(t_1+2) + 2.5t_1\)

\(t_1^2 + 2t_1 = 1.5t_1 + 3 + 2.5t_1\)

\(t_1^2 + 2t_1 = 4t_1 + 3\)

\(t_1^2 + 2t_1 - 4t_1 - 3 = 0\)

\(t_1^2 - 2t_1 - 3 = 0\)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):

\(D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\)

\(\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4\)

Найдём корни уравнения:

\(t_{1,1} = \frac{-(-2) + 4}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3\)

\(t_{1,2} = \frac{-(-2) - 4}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1\)

Так как время не может быть отрицательным, \(t_1 = 3\) часа.

Теперь найдём время, за которое второй принтер мог бы изготовить все детали: \(t_2 = t_1 + 2 = 3 + 2 = 5\) часов.

Ответ: 5